Problema.
Invenire motum nodi ex prædictâ causâ oriundum.
Per motum nodi in hac propositione intelligo motum intersectionis planorum æquatoris planetæ et orbitæ satellitis; orbitam autem satellitis quamproximé circularem suppono. Esto S locus satellitis in orbe suo SN cujus centrum C, (Fig. [4].) SF arcus centro C descriptus perpendicularis in circulum æquatoris planetæ FN; SB arcus eodem centro descriptus perpendicularis ad orbem SN, atque in SB sumatur lineola Sr æqualis duplo spatio, quod satelles percurrere posset impellente vi DR in Coroll. præced. determinatâ, quo tempore in orbe suo describeret arcum quàm minimum pS: per puncta r, p, describatur centro C circulus rpn secans equatorem in n, qui exhibebit situm orbitæ satellitis post illam particulam temporis, nodo N translato in n. Agantur SC, CN, et SH perpendicularis in lineam nodorum CN, et Nm perpendicularis in rpn. Jam cum sint lineolæ Sr, Nm, ut sinus arcuum Sp, SN, erit Sp. Sr ∷ SH. Nm; deinde in triangulo rectangulo Nmn habetur m. 1 ∷ Nm. Nn; unde per compositionem rationum Sp × m. Sr ∷ SH. Nn = Sr × SH ⁄ Sp × m: dato igitur arcu Sp, est Nn sive motus nodi ut Sr × SH. In triangulo sphærico rectangulo SFN est sinus anguli N, hoc est, anguli inclinationis orbitæ satellitis ad æquatorem planetæ, ad sinum arcûs SF, ut radius ad sinum arcûs SN, id est, m. k ⁄ l ∷ 1. SH, adeoque k ⁄ l = m × SH; est igitur k ⁄ l ut SH. Vis autem Sr per Coroll. Prop. præced. est ut k ⁄ l, adeoque ut SH; quamobrem est Sr × SH, proindeque et Nn, ut (SH)², hoc est, motus horarius nodi vi præfatâ genitus est in duplicatâ ratione distantiæ satellitis à nodo. Et quoniam summa omnium (SH)², quo tempore satelles periodum suam absolvit, est dimidium summæ totidem (SC)², ideò motus periodicus est subduplus ejus qui, si satelles in declinatione suâ maximâ ab æquatore planetæ continuò perstaret, eodem tempore generari posset. Sit igitur satelles in maximâ suâ declinatione sive in quadraturâ cum nodo, eritque SN quadrans circuli, et Nm mensura anguli Npm sive Spr, eritque in hoc casu Nn sive motus horarius nodi ad Nm, hoc est, ad angulum Spr, ut 1 ad m; est autem angulus Spr ad duplum angulum, quem subtendit sinus versus arcûs Sp satellitis gravitate in primarium eodem tempore descripti, id est, ad angulum SCp qui est motus horarius satellitis circa primarium, ut vis Sr ad gravitatem satellitis in primarium, hoc est (per Coroll. Prop. I.), ut 6kbcn ⁄ 5l³ ad 1, sive, quia est in hoc casu k ⁄ l = m, ut 6bcmn ⁄ 5l² ad 1. Unde conjunctis rationibus est motus horarius nodi ad motum horarium satellitis ut 6bcn ⁄ 5l² ad 1; et si S denotet tempus periodicum solis apparens, et L tempus periodicum satellitis circa primarium suum, cum sit motus horarius satellitis ad motum horarium solis ut S ad L, erit motus horarius nodi ad motum horarium solis ut 6bcn ⁄ 5l² × S ⁄ L ad 1, et in eadem ratione erit motus nodi annuus ad motum solis annuum, hoc est, ad 360°. Quarè, si satelles maneret toto anno in maximâ suâ declinatione ab æquatore primarii, vis prædicta ex figurâ sphæroidicâ planetæ primarii proveniens generaret eodem tempore motum nodi æqualem 6bcn ⁄ 5l² × S ⁄ L × 360°, et ex supradictis motus verus nodi annuus erit hujus subduplus, nempe 3bcn ⁄ 5l² × S ⁄ L × 360°. Q. E. I.
Coroll.
Si computatio instituatur pro lunâ, assumendo mediocrem ejus orbitæ inclinationem ad æquatorem terrestrem, erit n cosinus anguli 23° 28´½; et posito semiaxi terræ b = 1, erit distantia lunæ à centro terræ mediocris l = 60 circiter, indeque in hypothesi quod sit differentia semiaxium c = 1 ⁄ 229, erit 3bcn ⁄ 5l² × S ⁄ L × 360° = 11´´ ½; et si fuerit c = 1 ⁄ 177, manente terrâ uniformiter densâ, erit ille motus = 15´´. Hic erit motus nodorum annuus lunæ regressivus in plano æquatoris terrestris, qui reductus ad eclipticam, uti posteà docebitur, pro vario nodorum situ evadet multò velocior.
Notabilis multò magis erit motus intersectionis orbitarum satellitum Jovis in plano æquatoris Jovialis; et computabitur satis accuratè per formulam suprà traditam, modò satelles non sit Jovi nimis vicinus. Sic pro satellite extimo erit L = 16ᵈ 16ʰ 32´, b = 1, l = 25,299 circiter, semiaxium Jovis differentia c = 1 ⁄ 13; et positâ orbis hujus satellitis inclinatione ad æquatorem Jovis æquali 3°, erit n cosinus hujus inclinationis, atque inde prodibit 3bcn ⁄ 5l² × S ⁄ L × 360° = 34´ circiter, motus scilicet nodorum annuus satellitis quarti in plano æquatoris Jovis in antecedentia. Si minùs vel magìs inclinatur orbis ad Jovis æquatorem, augeri vel minui debet hic motus in ratione cosinûs hujus inclinationis.
Cæterùm patet motum hunc nodorum in plano æquatoris planetæ primarii, æstimando distantiam satellitis in semidiametris primarii, generatìm esse, dato tempore, in ratione compositâ, ex ratione directâ differentiæ semiaxium planetæ et cosinûs inclinationis orbis satellitis ad planetæ æquatorem, conjunctìm; et ex ratione inversâ temporis periodici satellitis et quadrati distantiæ satellitis à centro planetæ, item conjunctìm.
PROPOSITIO III.
Problema.
Motum nodorum Lunæ supra determinatum ad Eclipticam reducere.