In hoc computo inclinationem mediocrem orbis lunaris ad æquatorem, nempe 23° 28´ ½, usurpo, cum in revolutione nodi tantum ex unâ parte augetur, quantum ex alterâ minuitur, et omnes minutias hîc expendere supervacaneum foret. Motus autem nodi lunaris ecliptici est ad motum nodi lunaris æquatorii ut 19° 20´ ½ ad 11´´ ½ vel 15´´, sive ut 6055 vel 4642 ad 1, unde per theorema supra traditum prodit variatio inclinationis tota æqualis 27´´ vel 35´´, prout differentia axium terræ statuitur 1 ⁄ 229 vel 1 ⁄ 177. Hac igitur quantitate augetur inclinatio orbis lunaris ad eclipticam in transitu nodi ascendentis lunæ ab æquinoctio vernali ad autumnale, et tantumdem minuitur in alterâ medietate revolutionis nodi. In loco quolibet G inter æquinoctia variatio inclinationis est ad variationem totam ut sinus versus arcûs MG ad diametrum, ut patet; sive differentia inter semissem variationis totius et variationem quæsitam est ad ipsam semissem variationis totius ut cosinus arcûs MG ad radium, hoc est, ut u - qsvv ⁄ p ad 1. Q. E. I.
PROPOSITIO V.
Problema.
Motum apsidum in orbe satellitis quamproximé circulari, quatenùs ex figurâ planetæ primarii sphæroidicâ oritur, investigare.
Per propositionem primam vis perturbatrix, quâ trahitur satelles ad centrum planetæ primarii, est ad satellitis gravitatem in ipsum primarium, ut 3bc ⁄ 5l² - 9kkbc ⁄ 5l⁴ ad 1, sive, quia per Prop. 2. est k ⁄ l = m × SH (Fig. [4].) ponendo scilicet m pro sinu inclinationis orbitæ satellitis ad æquatorem primarii, et scribendo y pro SH, ut 3bc ⁄ 5l² × (1 - 3m²y²) ad 1; et summa harum virium in totâ circumferentiâ cujus radius est 1, est ad gravitatem satellitis toties sumptam ut 3bc ⁄ 5l² × (1 - 3m² ⁄ 2) ad 1. Vis igitur mediocris, quæ uniformiter agere in satellitem supponi potest, dum revolutionem suam in orbitâ propemodùm circulari absolvit, est ad ejus gravitatem in primarium ut 3bc ⁄ 5l² × (1 - 3m² ⁄ 2) ad 1; atque hac vi movebuntur apsides, si nulla habeatur ratio vis alterius quæ orbis radio est perpendicularis et per medietatem revolutionis satellitis in unum sensum tendit, per alteram medietatem in contrarium. Jam quia ex demonstratis in hac et primâ propositione sequitur gravitatem satellitis circa planetam, cujus figura est sphærois oblata, revolventis in distantiâ l generaliter esse ad ejusdem gravitatem in majori distantiâ L, ut 1 ⁄ l² + B ⁄ l⁴ × (1 - 3m² ⁄ 2) ad 1 ⁄ L² + B ⁄ L⁴ × (1 - 3m² ⁄ 2), existente B quantitate datâ exigui valoris, sive ut 1 ⁄ l² ad 1 ⁄ L² - B ⁄ l²L² × (1 - 3m² ⁄ 2) + B ⁄ L⁴ × (1 - 3m² ⁄ 2) quamproximé, ideò gravitas satellitis diminuitur in majori quam duplicatâ ratione distantiæ auctæ quoties m minor est quantitate √⅔ id est, ubi inclinatio orbitæ satellitis ad planetæ æquatorem non attingit 54° 44´; diminuitur autem in minori ratione, quoties est m major quàm √⅔, id est, ubi illa inclinatio superat 54° 44´; adeoque in priore casu progrediuntur apsides orbis satellitis, in posteriori regrediuntur. Quantitas autem hujus progressûs vel regressûs sic innotescet.
Per exemplum tertium prop. 45 lib. 1. Princ. Math. Newt. si vi centripetæ, quæ est ut 1 ⁄ l², addatur vis altera ut e ⁄ l⁴, hoc est, quæ sit ad vim centripetam 1 ⁄ l² ut e ⁄ l² ad 1, angulus revolutionis ab apside unâ ad eamdem erit 360° √1 + e ⁄ 1 - e vel 360° ⁄ 1 - e quamproximé, existente e quantitate valdé minutâ. Porrò cum sit motus satellitis in orbitâ suâ revolventis ad motum apsidis ut 360° ⁄ 1 - e ad 360° ⁄ 1 - e - 360°, hoc est, ut 1 ad e, erit motus apsidis tempore revolutionis satellitis ad fidera æqualis 360° × e, et hic motus apsidis erit ad ejusdem motum tempore alio quovis dato ut tempus periodicum satellitis ad tempus datum. Est autem in hac nostrâ propositione e = 3bc ⁄ 5l² × 1 - 3m² ⁄ 2; unde datur motus apsidum quæsitus. Q. E. I.
Coroll.
Si ad lunam referatur hæc determinatio, habebuntur b = 1, l = 60, m = sinui anguli 23° 28´ ½, et si fuerit c = 1 ⁄ 229, erit e = 1 ⁄ 1803203, atque motus apogæi lunæ spatio centum annorum æqualis 16´ proximé in consequentia; si fuerit c = 1 ⁄ 177, erit e = 1 ⁄ 1393742, et motus apogæi æqualis 20´, 7. Hac igitur quantitate minuendus est motus medius apogæi lunæ prout observationibus determinatur, ut habeatur motus ille quem generat vis solis.
Pro quarto autem Jovis satellite, erunt b = 1, l = 25,299, c = 1 ⁄ 13, m = sinui anguli 3°, e = 1 ⁄ 13924,7; hincque motus apsidis spatio unius anni solaris prodit 33´, 95 vel ferè 34´ in consequentia, qui tempore annorum decem fit 5° 40´. Insuper autem notandum est vi solis perturbari motum satellitis simili modo quo perturbatur motus lunæ; ideoque, quoniam vis solis, quâ perturbatur motus lunæ est ad lunæ gravitatem in terram in duplicatâ ratione temporis periodici lunæ circa terram ad tempus periodicum terræ circa solem, hoc est, ut 1 ad 178,725; pariter vis solis, qua perturbatur motus satellitis Jovialis, est ad ipsius satellitis gravitatem in Jovem in duplicatâ ratione temporum periodicorum satellitis circa Jovem et Jovis circa solem, hoc est, ut 1 ad 67394,6: vires igitur, quibus perturbantur motus lunæ et satellitis, sunt ad se invicem, relativé ad eorum gravitates in planetas suos primarios ut 1 ⁄ 178,725 ad 1 ⁄ 67394,6 sive ut 37,708 ad 1. Unde cum viribus similibus proportionales sunt motus his viribus dato tempore geniti, si vis prior vel ejusdem vis pars quælibet motum apsidis generat æqualem 40° 40´ ½ in orbe lunari annuatìm, vis posterior vel ejusdem pars similis et proportionalis motum apsidis eodem tempore generabit æqualem 6´ ½ in orbe satellitis, atque decem annorum spatio 1° 5´ in consequentia. Addatur 1° 5´ ad 5° 40´, et motus apsidum totus in orbe satellitis extimi Jovialis ex duabus prædictis causis oriundus spatio decem annorum erit 6° 45´ in consequentia. Observationibus Astronomicis collegit Ill. Bradleius hunc motum tempore prædicto esse quasi 6°; differentia illa qualiscumque 45´ inter motum observatum et computatum actionibus satellitum interiorum debebit ascribi.