Ex præcedentibus colligere licet motuum lunarium inæqualitates originem suam omnem non ducere ex vi solis, sed earum partem aliquam deberi actioni Telluris quatenùs induitur figurâ sphæroidicâ. Sufficiat hîc illarum computasse valorem, et legem, quâ generantur, demonstrasse: utrum autem hujusmodi correctiones tales sint ut tabulis Astronomicis inscribi mereantur, dijudicent Astronomi.
Item manifestum est præter inæqualitates eas, quæ in motibus satellitum Jovialium ex vi solis et actionibus satellitum in se invicem nascuntur, oriri alias ex figurâ Jovis sphæroidicâ ita notabiles ut Observationes Astronomicas continuò afficere debeant.
De Variatione motûs Terræ diurni.
Si terra globus esset omninò sphæricus quicumque foret revolutionis axis, manente eâdem in globo motûs quantitate, eadem maneret rotationis velocitas: secùs autem est, ubi ob vires solis et lunæ terra induit formam sphæroidis oblongæ per aquarum ascensum. Hîc enim non considero figuram telluris oblatam ob materiæ in æquatore redundantiam, sed sphæricam suppono nisi quatenùs per aquarum elevationem et depressionem in sphæroidicam mutatur. Jam verò in sphæroide hujusmodi, quamvis eadem maneat motûs quantitas, mutatâ inclinatione axis transversi ad axem revolutionis, mutabitur revolutionis velocitas, uti satis manifestum est: cùm autem axis transversus transit semper per solem vel lunam, singulis momentis mutabit situm suum respectu axis revolutionis ob motum quo hi duo planetæ recedunt ab æquatore terrestri et ad eum vicissìm accedunt.
Problema.
Variationem motûs terræ diurni ex prædictâ causâ oriundam investigare.
Exhibeat sphærois oblonga ADCd (Fig. [7].) terram fluidam, cujus centrum T, AC axis transversus jungens centra terræ et solis vel lunæ, Dd axis minor, EO diameter æquatoris, et XZ axis motûs diurni. Centro T et radio TD describatur circulus BDd secans axem transversum AC in B, et agatur BK perpendicularis in TE: tum ex quovis circuli puncto P ductâ PM ad axem XZ normali quæ secet TA in H, sit Ppr circumferentia circuli quam punctum P rotatione suâ diurnâ describit, ad cujus quodvis punctum p ducatur Tp et producatur donec occurrat superficiei sphæroidis in q; deinde demissâ pG perpendiculari in PM, et GF perpendiculari in TA, si per puncta AqC transire intelligatur ellipsis ellipsi ADC similis et æqualis, erit ex naturâ curvæ, quia sphærois nostra parùm admodùm differt à sphærâ, pq = AB × (TF)² ⁄ (TP)² quamproximé. Jam designet U velocitatem particulæ in terræ æquatore revolventis motu diurno circum axem XZ ad distantiam semidiametri TP, eritque U × PM ⁄ TP velocitas particulæ P circulum Ppr describentis, et cum sit TF =(GM - HM) × TK ⁄ TP + TH, erit motus totius lineolæ pq æqualis pq × U × PM ⁄ TP = U × AB × PM ⁄ (TP)³ × ((GM - HM) × (TK)²) ⁄ TP + TH, adeoque summa horum motuum in circuitu circuli Ppr, hoc est, motus superficiei inter circulum Ppr et sphæroidem in directione Tp contentæ, æquabitur circumferentiæ hujus circuli ductæ in U × AB × PM ⁄ (TP)³ × ((TK)² × (PM)² ⁄ 2(TP)² + (TK)² × (HM)² ⁄ (TP)² - 2TK × HM × TH ⁄ TP + (TH)²) sive quia est HM. TM ∷ TK. BK, et TH. HM∷ TP. TK, scribendo D pro circumferentiâ circuli BDd, æquabitur ille motus quantitati U × AB × D ⁄ 2(TP)⁶ × ((TK)² × (PM)⁴ + 2(BK)² × (TM)² × (PM)²). Deinde horum motuum summa in toto circuitu globi collecta, hoc est, motus totius materiæ globo BDd incumbentis prodibit æqualis U × AB × DD ⁄ 32 x 3(TP)² - (BK)² ⁄ (TP)². Ubi planeta in plano æquatoris consistit, fit BK = 0, et motus prædictus æqualis U × 3AB × DD ⁄ 32. Motus autem globi QPR circa eumdem axem est (uti facilé demonstratur) U × TP × DD ⁄ 16, adeoque motus terræ totius fit U × TP × DD ⁄ 16 + U × AB × DD ⁄ 32 × 3(TP)² - (BK)² ⁄ (TP)², qui cum idem semper manere debeat, denotet V velocitatem in superficie æquatoris terrestris ubi planeta versatur in plano æquatoris, eritque U × TP × DD ⁄ 16 + U × 3AB × DD ⁄ 32 = U × TP × DD ⁄ 16 + U × AB × DD ⁄ 32 × 3(TP)² - (BK)² ⁄ (TP)²; unde scribendo 1 pro TP quatenùs est radius ad sinum BK anguli BTK, habetur V. U∷ TP + 3AB ⁄ 2 - AB × (BK)² ⁄ 2. TP + 3AB ⁄ 2, indeque, quia minima est altitudo AB respectu semidiametri TP, U - V. V∷ AB × (BK)². 2TP, et U - V = V × AB × (BK)² ⁄ 2TP: pro V autem patet scribi posse velocitatem angularem terræ mediocrem quia ab eâ differt quam minimé et ducitur in quantitatem perexiguam AB × (BK)² ⁄ 2TP, et quia tempora revolutionum terræ circa centrum suum sint reciprocé ut motus angulares U, V, fiet differentia revolutionum terræ ubi planeta æquatorem tenet et ubi ab æquatore distat angulo BTK, æqualis 23ʰ 56´ × AB × (BK)² ⁄ 2TP. Quoniam igitur est acceleratio horaria ad motum terræ horarium mediocrem circa centrum suum ut AB × (BK)² ad 2 TP sive (quia est sinus p inclinationis eclipticæ ad æquatorem ad radium 1 ut sinus BK ad sinum distantiæ planetæ ab æquinoctio, quem sinum dico K) ut AB × p² × K² ad 2 TP; adeoque acceleratio horaria rotationis terræ crescit in ratione duplicatâ sinûs distantiæ planetæ à puncto æquinoctii, et summa omnium illarum accelerationum, quo tempore transit planeta ab æquinoctio ad solstitium, est ad summam totidem motuum horariorum mediocrium, hoc est, acceleratio tota eo tempore genita est ad tempus illud ut summa quantitatum omnium AB × p² × K² in circuli quadrante ad summam totidem 2TP, id est, quia summa omnium K² in circuli quadrante dimidium est summæ totidem quadratorum radii, ut AB × p² ad 4 TP. Quamobrèm, si denotet P quartam partem temporis planetæ periodici circa terram, erit acceleratio tota motûs terræ circum axem suum in transitu planetæ ab æquinoctio ad solstitium genita æqualis AB × P × p² ⁄ 4TP, atque eadem erit retardatio in transitu planetæ à solstitio ad æquinoctium. Unde sponte nascitur hoc Theorema: Est quadratum diametri ad quadratum sinûs obliquitatis eclipticæ ut quarta pars temporis periodici solis vel lunæ ad tempus aliud; deinde, est semidiameter terræ ad differentiam semiaxium ut tempus mox inventum ad accelerationem quæsitam.
Ascensus aquæ AB vi solis debitus est duorum pedum circiter, existente semidiametro terræ mediocri TP = 19615800, unde prodit per theorema acceleratio terræ circa centrum suum gyrantis facta quo tempore incedit sol ab æquinoctio ad solstitium, æqualis 1´´´ 55ⁱᵛ in partibus temporis; et si vi lunæ ascendunt aquæ ad altitudinem octo pedum, acceleratio revolutionis terræ inde orta, quo tempore luna transit ab æquatore ad declinationem suam maximam, erit 34ⁱᵛ: et summa harum accelerationum, quæ obtinet ubi hi duo planetæ in punctis solstitialibus versantur, cum non superet duo minuta tertia temporis cum semisse sive 37 minuta tertia gradûs, vix observabilis erit. Q. E. I.
Cùm igitur tantilla fit hujusmodi variatio in hypothesi sphæricitatis terræ; qualis evaderet, terrâ existente sphæroide oblatâ, frustrà quis inquireret.