Note 75:[ (retour) ] On peut rendre ce fait évident en imaginant qu'on construise sur deux globes distincts la fig. 63 relativement à deux lieux M et N de même latitude. Les deux figures ainsi construites seraient identiquement les mêmes, puisque sur toutes les deux, les cercles diurnes une fois dessinés, on prendrait sur le méridien le même arc PH=E'M=latitude; pour fixer la position de l'horizon; de l'identité des deux figures on conclut que le cercle diurne, correspondant à chaque jour solaire, est divisé de la même manière par les horizons des deux lieux.
La seconde est mise en évidence par la fig. 67 qui représente la projection du globe de la figure 63 sur le méridien du lieu considéré. On y voit les traces ou projections de quelques cercles diurnes et celles des horizons de lieux M et M1 de latitudes différentes E'M, E'M1. On n'a qu'à suivre le soleil comme nous l'avons fait nº 176; on voit que dans la première période ci-dessus indiquée, de l'équinoxe du printemps au solstice d été, et de ce solstice à l'équinoxe d'automne, chaque jour est plus long en effet pour M1 que pour M, et chaque nuit plus courte, tandis que c'est le contraire dans la seconde période quand le soleil se trouve au-dessous de l'équateur.
184. Ce qui rend plus remarquable en un lieu donné le phénomène qui nous occupe, c'est évidemment la différence entre le jour le plus long de l'année et le jour le plus court. Plus cette différence est grande, plus grandes aussi et plus sensibles doivent être les variations quotidiennes que nous avons indiquées. Un caractère très-propre à distinguer les uns des autres les divers lieux d'un même hémisphère, est donc la durée du plus long jour ou de la plus longue nuit (qui est absolument la même).
185. Cette durée dépend exclusivement de la latitude [76]; nous allons l'indiquer pour diverses latitudes boréales, à partir de l'équateur, sur lequel, ainsi que nous l'avons dit nº 182, il y a constamment un jour de 12 heures et une nuit d'égale durée.
Note 76:[ (retour) ] Calcul de la durée du jour en un lieu donné, à une époque donnée. Soient O le centre d'un cercle diurne LDCK, fig. 63, D la déclinaison correspondante E'D du soleil, L la latitude E'M d'un certain lieu de la terre, x la moitié LK de l'arc de nuit pour ce lieu. Le rayon de la sphère étant pris pour unité, nous avons OI = sin D, OK = cos D; le triangle rectangle IOi donne Oi = IO tan OIi = IO tang PH = IO tang E'M = sin D tang L. D'un autre côté le triangle rectangle iOL donne Oi = OL cos iOL = OK cos x = cos D cos x; en égalant les deux valeurs de Oi, on a cos D cos x = sin D tang L, d'où
cos x = tang D·tang L. (1)
Ayant le tableau des déclinaisons moyennes du soleil pour les différents jours de l'année, on pourra, à l'aide de cette formule, déterminer le nombre de degrés de l'arc x; 2x est l'arc de nuit à l'époque considérée; 360°-2x est l'arc de jour; en partageant 24 heures en parties proportionnelles à 2x et à 360°-2x, on a les durées respectives de la nuit et du jour, à l'époque où le soleil a la déclinaison D, au lieu M dont la latitude est L. Tant que tang D x tang L ne surpasse pas 1, on trouve une valeur de x; quand tang D tang L = 1, cos x = 1, x = 0; la nuit est nulle, le jour a 24 heures au moins. Alors D = 90°-L; si cette valeur de D est le maximum 23° 28', le plus long jour dure précisément 24 heures au lieu considéré. Si la valeur D = 90°-L est inférieure à 23° 28', le plus long jour du lieu dure depuis le moment où D a cette valeur 90°-L, jusqu'à ce que le soleil, ayant passé par le solstice d'été, soit revenu à cette déclinaison D = 90°-L. Cette formule discutée répond donc aux questions que l'on peut se proposer sur la durée du jour; on peut faire varier L pour comparer entre eux les divers lieux de la terre.
DURÉE DURÉE DURÉE DURÉE
LATITUDE du plus du jour LATITUDE du plus du jour
long jour. le plus court. long jour. le plus
court.
0° 12h 0m 12h 0m 40° 14h 51m 9h 9m
5 12 17 11 43 45 15 26 8 34
10 12 35 11 25 50 16 9 7 51
15 12 53 11 7 55 17 7 6 53
20 13 13 10 47 60 18 30 5 30
25 13 34 10 26 65 21 9 2 51
30 13 56 10 4 66° 32' 24 0 0 0
35 14 22 9 38
Dans chaque lieu dont la latitude est supérieure à 66° 32', la durée du jour varie de 0 à 24 heures, comme nous l'avons dit nº 179, dans la partie de l'année où le soleil rencontre l'horizon. Mais le nombre des jours pendant lesquels cet astre reste au-dessus de l'horizon sans se coucher (la durée du plus long jour), et le nombre de jours pendant lesquels il reste au-dessous de ce plan sans se lever (la durée de la plus longue nuit), varient avec la latitude; le tableau suivant fait connaître ces durées pour diverses latitudes boréales depuis 66° 32' jusqu'à 90°.
LATITUDES LE SOLEIL LE SOLEIL
boréales. ne se couche pas ne se lève pas
pendant environ pendant environ
66°32' 1 j. 1 j.
70 65 60
75 103 97
80 134 127
85 161 153
90 186 179
Pour les latitudes australes de même valeur les durées ne sont pas absolument les mêmes. Ainsi, pour la latitude australe de 75°, le soleil doit rester constamment au-dessus de l'horizon pendant qu'il ne se lève pas à la latitude boréale de 75° et vice versa. Le soleil reste donc environ 97 jours sans se coucher et 103 jours sans se lever à la latitude australe de 75° (V. nº 181).