97. Avantage et inconvénient de la projection stéréographique ordinairement employée pour construire les atlas de géographie.
L'avantage qu'elle présente, c'est qu'une figure de petites dimensions, située n'importe où sur l'hémisphère, est représentée sur la carte par une figure semblable. En effet, cette figure peut être considérée comme plane à cause de sa petitesse; cela posé, il résulte de la seconde propriété des projections stéréographiques, nº 92, que les triangles, dans lesquels la figure et sa représentation peuvent être décomposés, sont semblables comme équiangles, et semblablement disposés. Cette figure n'est donc pas déformée; seulement ses dimensions sont réduites dans le même rapport (V. BC et bc, fig. 40).
L'inconvénient de ce mode de projection consiste précisément en ce que le rapport dans lequel se fait la réduction d'une petite figure varie avec la position de celle-ci sur l'hémisphère. Au bord de la carte il n'y a pas de réduction, puisque les parties du méridien qui forme le contour sont représentées en véritable grandeur; mais les dimensions se réduisent de plus en plus à mesure qu'on s'éloigne du bord; vers le centre les dimensions sont réduites de moitié. Ex.: de = 1/2 DE (fig. 40).
98. Système de développement employé pour la carte de France. Dans la construction de la grande carte de France du dépôt de la guerre, on s'est surtout attaché à ne pas altérer les rapports d'étendue superficielle qui existent entre les diverses parties de la contrée, tout en conservant autant que possible les formes telles qu'elles existent sur la terre. Pour cela, on a employé un système de développement, dit développement conique modifié, que nous allons faire connaître.
Construction du canevas. Supposons qu'il s'agisse de représenter une contrée dont les longitudes extrêmes sont 5° Ouest et 7° Est, et les latitudes extrêmes 42° et 52° Nord (ce sont à peu près celles de France). On détermine la longitude moyenne, qui est ((7° + 5°)/2) = 1° Est, et la latitude moyenne, qui est ((42° + 52°)/2) = 47° Nord. Cela fait, on imagine devant soi un globe terrestre géographique sur lequel est figurée la contrée à représenter, décomposée par un canevas de méridiens et de parallèles comme le doit être la carte elle-même. On représente le méridien moyen SCE (fig. 44) par une ligne droite sce. Pour représenter le parallèle moyen, on imagine menée en C une tangente CS au méridien du globe, jusqu'à la rencontre de l'axe PP' en S; on déterminera l'aide de la latitude moyenne (47°), la longueur de cette tangente du points au point C [34]; puis du point s sur la carte, comme centre, avec un rayon sc = SC, on trace un arc de cercle fch qui représente le parallèle moyen. Pour avoir la représentation des autres parallèles, on imagine le méridien moyen ACE divisé en parties AB, BC, CD, DE,..... dont les extrémités correspondent à des latitudes connues, de degré en degré par exemple. On porte sur sce, de part et d'autre de c, et dans le même ordre que sur le globe, des longueurs cb, ba,..... cd, de...... respectivement égales aux longueurs CB, BA,... CD, DE... [35]. Puis de s comme centre, on décrit des arcs de cercle passant aux points b, d, c...; chacun de ces arcs bb'b?,... représente un des parallèles de la contrée correspondant à une latitude connue. Pour achever le canevas, il n'y a plus qu'à représenter un certain nombre de méridiens de part et d'autre du méridien moyen. Pour cela, on imagine sur le globe un certain nombre de ces méridiens correspondant à des longitudes connues, de degré en degré par exemple, lesquels divisent les parallèles en arcs tels que AA', A'A?,... BB', B'B?,... etc. Sur chacun des parallèles de la carte, aa'a?, bb'b?, on prend des arcs respectivement égaux en longueur à leurs correspondants sur le globe, aa' = AA', a'a? = A'A?,... bb' = BB',..., etc. [36]. Cela tait, on fait passer par chaque série de points ainsi obtenus, occupant le même rang sur leurs courbes respectives à partir de sce, ex.: (a', b', c',...), une ligne continue (a'b'c'...); chacune des lignes ainsi obtenues représente un des méridiens de la contrée correspondant à une longitude connue que l'on indique sur la carte. On marque les latitudes sur les bords de la carte, à gauche et à droite, aux extrémités des arcs aa'a?, bb?..., et les longitudes en haut et en bas aux extrémités des arcs abc, a'b'c'... Le canevas achevé, il ne reste plus qu'à y marquer les lieux et les objets que l'on veut indiquer, d'après un globe terrestre ou d'après leurs longitudes et leurs latitudes connues.
Note 34:[ (retour) ] À l'inspection seule de la première des figures 44, on voit que la tangente SC peut se construire comme il suit:
Le rayon R du globe terrestre est représenté par une longueur qui dépend des dimensions que l'on veut donner à la carte, 0m,2, par exemple. On décrit un cercle avec ce rayon et on y trace deux diamètres, l'un horizontal, l'autre vertical. À partir du premier, on prend sur la circonférence un arc égal à la latitude moyenne donnée; à l'extrémité de cet arc, on mène une tangente que l'on prolonge seulement jusqu'à sa rencontre avec le diamètre vertical prolongé lui-même. Cette tangente est la longueur cherchée SC.
Note 35:[ (retour) ] Supposons que les arcs AB, BC, CD,..... du méridien moyen soient 1°. Chacun d'eux est la 360e partie de la circonférence; AB = 2pR/300. Connaissant p et R, on peut calculer la longueur de AB = BC = CD. Cette longueur est celle que l'on porte sur la droite sce de la carte, de c en b, de b en a, etc. Dans la construction de la carte de France, on a eu égard à l'aplatissement de la terre; la longueur d'un degré du méridien dépend, dans ce cas, de sa latitude.
Note 36:[ (retour) ] Pour construire les arcs aa', a'a?,..... qui appartiennent à un parallèle dont la latitude est donnée, on construit à part ce parallèle, avec un rayon r = R × cos. latitude de ce parallèle, ou bien de la manière indiquée à propos de la projection orthographique. Si les arcs aa', a'a?,.... sont de 1°, on prend un arc de 1° sur ce parallèle; puis on porte cet arc par parties très-petites, de a en a', sur l'arc de cercle aa'a?; puis une 2e fois de a' en a?; une 3e fois de a? en a?, etc.....
Remarques. Dans cette construction, on attribue au globe terrestre, dont on est censé développer une partie de la surface, un rayon arbitraire R dont la grandeur dépend du rapport que l'on veut établir entre les distances sur la carte et les distances réelles. Si les arcs AB, BC,... sont des arcs de 1°, on déduit leur longueur de celle du rayon assigné au globe terrestre (1° = 2pR/360). Pour la carte de France, on a eu égard à l'aplatissement de la terre; la longueur d'un degré du méridien est estimée suivant la latitude.