NOTE II.
Démonstration des deux principes relatifs à la projection stéréographique. des cercles d'une sphère, énoncés n° 92, page 74.
Théorème I. Tout cercle ED de la sphère a pour perspective, ou projection stéréographique, un cercle.
Observons d'abord que les droites qui projettent les points d'une circonférence, circ.ED (V. la fig. 41 ci-après) sont les génératrices d'un cône circulaire qui a le point de vue O pour sommet et cette circonférence pour base. L'intersection d'une pareille surface par un plan KBL parallèle à la base est une autre circonférence. En effet, menons les génératrices quelconques OA, OE, OD qui rencontrent la section en K, B, L (fig. 40 bis); les triangles semblables OIB, OIA donnent Oi/OI = iB/IA; les triangles OIK, OIE donnent Oi/OI = iK/IE; donc iB/IA = iK/IE; mais IA=IE, donc iB = iK; on prouverait de même que iB = iL; donc la courbe KBL est une circonférence dont le centre est i. Cela posé, soit O (fig. 41) le point de vue sur la sphère; on sait que le tableau ou plan de projection est un grand cercle ASB perpendiculaire au rayon OC. Soit HMF la perspective d'une circonférence quelconque de la sphère, circ.ED; il faut prouver que HMF est une circonférence. Pour cela, observons que la ligne CI, qui joint le centre C de la sphère et le centre I de circ. ED, est perpendiculaire au plan de cette circonférence; de sorte que le plan OCI est à la fois perpendiculaire à cercle ASB et à cercle ED. Ce plan OCI coupe la surface conique suivant le triangle OED, et le tableau ASB suivant un diamètre ACB. Soit M un point quelconque de la projection HMF de cercle ED; abaissons de M la perpendiculaire MP sur l'intersection CB ou HF du plan OED et du plan ASB. Comme ces plans sont perpendiculaires, MP, qui est dans le plan ASB, est perpendiculaire au plan OED; MP est donc parallèle à cercle ED. Conduisons par MP un plan parallèle à cercle ED; ce plan coupe le cône suivant une circonférence KML, dont KL, parallèle à ED, est un diamètre. D'après un théorème connu (3° livre de géométrie), (MP)² = KP × PL (1). Cela posé, observons que l'angle HFO = OED; en effet HFO a pour mesure 1/2 AO + 1/2 BD; OED a pour mesure 1/2 DB + 1/2 OB; or AO = OB (ce sont deux quadrants). De ce que HFO = 0ED, et OED=OKL, on conclut OKL = HFO; de OKL = HFO, on conclut que l'arc du segment circulaire capable de l'angle HFO, qui aurait HL pour corde, passerait par le point K. Les quatre points H, K, F, L sont donc sur une même circonférence; les lignes HF, KL étant deux cordes d'une même circonférence, HP × PF = KP × PL; donc en vertu de l'égalité (1), (MP)² = HP × PF. Si donc on tirait les lignes HM, MF, le triangle HMF serait rectangle; le point M appartient donc à la circonférence qui, dans le plan ASB, a pour diamètre HF. Le point M étant un point quelconque de la projection de circ. ED, on conclut que tous les points de la projection sont sur la circonférence HMF dont nous venons de parler, autrement dit, que cette circonférence est précisément la projection de circ. ED sur le plan ASB.
Théorème II. L'angle que forment deux lignes MP, MN qui se coupent sur la sphère est égal à celui que forment les lignes mn, mp qui les représentent sur la carte (fig. 41 bis). (On sait qu'on appelle angle de deux lignes courbes MP, MN, l'angle que forment les tangentes MG, MF, menées à ces courbes à leurs points de rencontre.)
Soient g et f les points où MG, MF percent le tableau; les projections mg, mf de ces tangentes sont elles-mêmes tangentes aux courbes mn, mp; il faut démontrer que l'angle gmf=GMF. Pour cela, menons, par le point de vue 0, un plan GOF parallèle au plan du tableau; ce plan GOF perpendiculaire à l'extrémité du rayon OC est tangent à la sphère. Soient G et F les points d'intersection de ce plan par les tangentes MG, MF; menons OG, OF, FG. Les lignes OG, mg, intersection des deux plans parallèles par le plan OMG, sont parallèles; OF, mf sont aussi parallèles; donc l'angle gmf=GOF; nous allons prouver que GOF=GMF. En effet, les lignes GM, GO, tangentes à la sphère, issues du même point G, sont égales (on peut concevoir deux grands cercles déterminés par les plans CMG, COG, lesquels auraient pour tangentes MG, OG); pour une raison semblable, FM=FO. Les deux triangles MGF, OGF sont donc égaux; par suite, l'angle GOF=GMF; donc gmf=GOF=GMF. C. Q. F. D.
Remarque. Nous avons dit que mf, projection de la tangente MF, était elle-même une tangente à la projection mn de MN. On se rend compte de ce fait en imaginant une sécante MM' à la courbe MN, et la projection mm' de cette sécante; puis faisant tourner le plan projetant OMM' autour de OM, jusqu'à ce que M' soit venu se confondre avec M, MM' devenant la tangente MF; pendant ce temps, m' se rapproche de m, et se confond avec m quand M' arrive en M; de sorte que la sécante et sa projection deviennent tangentes en même temps.