C'est là ce qu'on entend par la proportionnalité des aires au temps; c'est le principe des aires.
131. Vitesse angulaire du soleil. On nomme vitesse angulaire du soleil, l'angle S'TS", des rayons vecteurs TS', TS", qui correspondent au commencement et à la fin d'une unité de temps. Ou, ce qui revient au même, la vitesse angulaire du soleil est l'arc d'écliptique, s's", décrit par la position apparente du soleil dans l'unité de temps. L'arc s's" mesure l'angle S'TS".
Par conséquent la comparaison des vitesses angulaires, aux différentes époques du mouvement du soleil, revient à la comparaison des vitesses de sa position apparente, s, sur l'écliptique. En comparant d'une part les vitesses angulaires, et de l'autre les distances réelles, Képler est arrivé, par l'observation, à ce résultat général:
La vitesse angulaire du soleil varie en raison inverse du carré de sa distance réelle à la terre.
Ce principe est une conséquence de celui des aires ou vice versa [51].
Note 50:[ (retour) ] En effet soient a l'aire décrite dans l'unité de temps, A l'aire décrite dans t unités de temps, A' l'aire décrite dans t' unités; on a A = a · t; A' = a · t'; donc A / A' = t / t'.
Note 51:[ (retour) ] Pour déduire ce second principe du premier, il suffit de regarder chaque aire STS', décrite dans l'unité de temps, qui est aussi petite que l'on veut, comme un secteur circulaire ayant pour rayon la distance réelle TS au commencement de ce temps. Égalant deux aires ainsi décrites à deux époques différentes, et traduisant l'égalité en celle de deux rapports, on a le principe relatif aux vitesses angulaires, qui sont représentées par les petits arcs, a, des secteurs circulaires en question.
1/2a x (TS)² = 1/2 a(k) x (TS(k)); d'où a:a(k) = (TS(k))²/(TS)².
132. La vitesse angulaire du soleil est donc à son maximum quand cet astre est au périgée P (fig. 53) vers le 1er janvier; à partir de là, elle décroît continuellement jusqu'à un minimum qu'elle atteint quand l'astre arrive à l'apogée A, vers le 3 juillet. Puis cette vitesse repassant exactement par les mêmes états de grandeur, mais dans l'ordre inverse, augmente progressivement pour revenir à son maximum vers le 1er janvier. Et ainsi de suite indéfiniment.
133. Résumé. On peut résumer ainsi ce que nous avons dit jusqu'à présent sur le mouvement annuel apparent du soleil.
Ce mouvement s'accomplit dans une orbite plane dont le plan, qui passe par le centre de la terre, se nomme le plan de l'écliptique; cette orbite se projette sur la sphère céleste suivant le grand cercle de ce nom; néanmoins cette orbite elle-même n'est pas circulaire, mais elliptique; la terre en occupe le foyer et non le centre. L'excentricité de cette ellipse est à peu près 1/60, en prenant pour unité la moitié du grand axe de l'ellipse. Le mouvement du soleil sur cette ellipse est réglé de telle sorte que son rayon vecteur décrit des aires égales en temps égaux.