Posez d’abord à votre maître une première question : Qu’est-ce que tout cela ? Demandez-lui une première leçon d’une heure et demie sur ce sujet. Quand il vous aura dit et fait comprendre qu’il n’y a en tout cela que deux objets, les nombres et les formes, arithmétique et géométrie ; puis une manière de les représenter, de les calculer, de les comparer, arithmétique et application de l’algèbre à la géométrie ; puis une manière plus profonde encore de les analyser, calcul infinitésimal, dont le calcul différentiel et le calcul intégral sont les deux parties, alors vous demanderez à votre maître une leçon sur chacune de ces branches.

Il y a une règle générale d’enseignement presque toujours renversée aujourd’hui : c’est qu’il faut commencer, en tout enseignement, par la racine et par le tronc, passer de là aux maîtresses branches, puis aux branches secondaires, puis aux rameaux, puis aux feuilles et aux fruits, puis à la graine et au noyau, et montrer à la fin, dans chaque noyau et dans chaque graine, la racine et le tout. Aujourd’hui d’abord, nous ne parlons jamais du tout, ni au commencement, ni à la fin ; du reste, nous commençons arbitrairement par tel ou tel rameau, et quand nous en avons plus ou moins décrit toutes les branches, sans les approfondir ni même en montrer l’unité, nous croyons notre tâche achevée. Les professeurs sont trop souvent, comme le poète dont parle Horace, assez habiles dans certains détails, mais incapables de produire un tout :

Infelix operis summa quia ponere totum

Nesciet.

Après cette leçon générale sur chaque branche, recommencez cinq ou six leçons sur chacune, puis reprenez le tout encore avec plus de détail.

On peut enseigner de cette manière ; on le doit, du moins pour certains esprits ; il le faut, et nous y viendrons.

III

Ici je veux vous indiquer une simplification fondamentale qui doit vivifier et accélérer, dans une incalculable proportion, l’enseignement des mathématiques. Je suis heureux de pouvoir m’appuyer en ce point sur l’autorité de deux mathématiciens éminents, M. Poisson, dont les ouvrages sont dans toutes les mains, et M. Coriolis, ancien directeur des études de l’École polytechnique, homme d’autant d’expérience que de pénétration. M. Poisson, pendant les dernières années de sa vie, travaillait à renouveler en France l’enseignement des mathématiques, par la méthode que je vais dire, et qui est aux anciennes méthodes ce que notre nouveau moyen de locomotion est aux anciens. Mais les efforts de l’illustre et habile géomètre ont échoué contre la force d’inertie et le droit de possession des vieilles méthodes. Tout ce qu’il a pu obtenir comme conseiller de l’Université, c’est une ordonnance décrétant le changement de méthode. L’ordonnance a paru, mais elle n’a pas été suivie d’effets.

Il faut la reprendre. M. Poisson disait que les parties des mathématiques devaient être enseignées par la méthode infinitésimale. Quelques personnes se souviennent encore qu’un jour, présidant un concours d’agrégation, M. Poisson, oubliant un instant le candidat qu’il avait à juger, prit la parole et développa ceci : « qu’il y a en géométrie quatre méthodes : méthode de superposition, méthode de réduction à l’absurde, méthode des limites, méthode infinitésimale. La superposition, disait-il, n’est applicable qu’en très peu de cas ; la réduction à l’absurde suppose la vérité connue, et prouve alors qu’il ne peut en être autrement, mais sans montrer pourquoi. La méthode des limites, isolée de l’idée des infiniment petits[18], cette méthode plus généralement applicable que les deux autres, suppose aussi la vérité connue, et n’est, par conséquent, pas davantage une méthode d’investigation : ce sont trois méthodes de démonstration, applicables chacune, dans certains cas, aux vérités déjà connues. Au contraire, la méthode des infiniment petits se trouve être à la fois une méthode générale et toujours applicable, et de démonstration et d’investigation. » — Il est vrai, pendant que M. Poisson parlait ainsi, à côté de lui, un autre mathématicien illustre croyait l’arrêter tout court en lui disant : Qu’est-ce que les infiniment petits ? Je ne sais ce qu’a répondu M. Poisson. Mais, quant à la méthode, qu’importe la réponse ? Il suffit qu’avec notre notion, telle quelle, des infiniment petits, qui sont ce que Dieu sait, aussi bien que le point, la ligne, la surface, le solide et le reste, il suffit dis-je, que l’introduction de cette notion soit la voie, sans comparaison la plus facile et la plus courte, pour trouver et montrer la vérité mathématique.

[18] Je dis « isolée de l’idée des infiniment petits », car on est pleinement dans le vrai lorsque, avec M. Duhamel, on regarde « la notion des infiniment petits, et la conception fondamentale des limites comme intimement unies l’une à l’autre, et comme étant les deux idées générales les plus fécondes des sciences mathématiques. » (Préface des Éléments de calcul infinitésimal.)