C’est donc celle-là que nous prendrons.

Sans m’arrêter aux objections de ceux qui disent qu’on ne sait ce que c’est, qu’elle n’est point rigoureuse, je l’emploie parce qu’elle mène au but. D’ailleurs, nous avons répondu, ce semble, à ces difficultés dans le quatrième livre de notre Logique, et surtout dans notre introduction à la Logique.

Il y a, dans cette défiance de la rationalité des infiniment petits, ce que disait déjà Fontenelle, lorsque les esprits chagrins de l’Académie des sciences voulaient étouffer dans son germe la découverte de Leibniz, il y a une sainte horreur de l’infini ; il y a ce rationalisme pédant qui se donne bien du mal pour démontrer rigoureusement le postulatum d’Euclide, qui n’en a pas besoin ; il y a ce pédantisme qui se flatte, comme nous le disait un spirituel mathématicien, de trouver des difficultés là où personne n’en avait vu ; il y a ce que pensait Bordaz-Desmoulin, lequel a dit fort à propos : « L’infini qui ne fait qu’apparaître dans la science l’éblouit ; » il y a cette disposition qui poussa Lagrange à écrire sa Théorie des fonctions analytiques, dégagée de toute considération d’infiniment petits, etc. ; Il y a enfin cet étrange aveuglement des esprits d’une certaine nature, qui ne veulent point d’idées plus grandes que nous, et ignorent que, comme le dit Bossuet, « nous n’égalons jamais nos idées, tant Dieu a pris soin d’y marquer son infinité. »

Nous citions un autre mathématicien compétent, M. Coriolis, lequel, peu de temps avant sa mort, nous avouait qu’il eût aimé à consacrer le reste de ses forces à la réforme, dans ce sens, de l’enseignement mathématique. Tout ramener à la méthode infinitésimale était, me disait-il, l’idée de toute sa vie, comme professeur et comme directeur des études. A ses yeux, l’enseignement des mathématiques, aujourd’hui en France, était le plus lourd, le plus pédant, le plus fatigant pour les élèves et pour les maîtres qu’il fût possible de voir, et présentait le plus étrange exemple de routine qu’ait offert aucun enseignement dans aucun temps. « Quand on parle comme on le fait souvent, disait-il, de la routine des séminaires dans l’enseignement théologique, on est loin de se douter que l’enseignement mathématique est victime d’une routine incomparablement plus lourde et plus barbare. »

D’après ces autorités, ces raisons, et bien d’autres, je ne pense pas qu’il soit téméraire d’affirmer qu’une seule année d’études par la méthode infinitésimale, convenablement appliquée et présentée, donnerait, non pas plus d’acquis ni de détail, mais plus de résultats utiles, plus d’intuition géométrique, et surtout plus de développement des facultés mathématiques, que le séjour même de l’École polytechnique, qui est de deux ans, et qui suppose d’ordinaire trois années d’études préalables.

Par cette voie, qui est vraiment, comme le disait M. Poisson, la seule voie d’invention, ne voit-on pas qu’en peu de temps on apprendrait à l’élève géomètre à faire de petites découvertes, et à voir par lui-même, au lieu d’apprendre par cœur, sans voir ? Il développerait ses facultés, en acquérant la science, et accélérerait sa vitesse par chaque effort.

Je conclus, sur ce point, en répétant mon assertion : la méthode infinitésimale appliquée partout en mathématiques, c’est la lumière introduite dans la masse, c’est la vitesse substituée à la lenteur. Aussi je ne doute pas un seul instant que la solution du problème de l’enseignement ne réside surtout en ce point. On peut doubler, plus que doubler, la vitesse, la clarté, la fécondité de l’enseignement mathématique par l’introduction décidée de la méthode infinitésimale. On peut alors superposer les deux éducations nécessaires de l’esprit, faire pénétrer la science dans les lettres, trop vides et trop banales sans ce vigoureux aliment, et par contre, donner à la science la chaleur lumineuse, le feu, qui seul en transfigure la masse, et la change en diamant. Le premier qui, en France, instituera sur une base durable, par la voie que nous indiquons, cette pénétration mutuelle des lettres et des sciences dans la première éducation, celui-là doublera les lumières de la génération suivante, et deviendra peut-être le Richelieu d’un grand siècle.

IV

Reste donc un point dont personne ne s’occupe.

Nous étudions aujourd’hui les mathématiques soit pour passer un examen, soit pour apprendre aux autres à le passer, mais non pas pour savoir, pour posséder la science. Quand donc nous savons démontrer un théorème, c’est tout. Mais que fait-on de ce théorème démontré ? Que fait notre esprit de cette vérité dévoilée ? Quand est-ce qu’il la médite, la contemple en elle-même, et s’en nourrit ? Quel est le sens de cette géométrie et de ces formes ? Ces formes sont des caractères que nous avons appris à distinguer, à désigner, à reproduire, à comparer. Mais que veulent dire ces caractères ? S’il est vrai que les caractères mathématiques sont des vérités absolues, éternelles, elles sont en Dieu, elles sont la loi de toute chose. Nous commençons à le comprendre pour la nature inanimée : mais que sont-elles dans l’ordre vivant ? Que sont-elles dans l’âme ? Que sont-elles en Dieu ? Et quelle est la philosophie de ces formes ? Questions étranges pour les mathématiciens purs, aussi bien que pour les philosophes purs, mais questions que l’on posera, et que peut-être on résoudra un jour, quand les mathématiques se répandront dans l’ensemble de la science comparée.