avec l’ellipsoïde

. C’est le problème que se posait Poincaré en 1885, ce qui l’a conduit à une infinité de nouvelles figures d’équilibre; à la vérité, il se borne dans cette recherche à la première approximation, et il ne conclut l’existence effective des nouvelles figures qu’en étendant d’une manière peut-être contestable, au cas des fluides, des remarques très ingénieuses sur les équilibres de bifurcation démontrées seulement pour des systèmes dont la position ne dépend que d’un nombre fini de paramètres. Les nouvelles figures sont toutes instables, sauf peut-être une célèbre figure piriforme correspondant à la vitesse angulaire la plus petite qui donne des ellipsoïdes de Jacobi stables. Il semble bien, d’après les dernières recherches de M. Liapounoff qui a étudié de son côté avec une grande rigueur les problèmes précédents par d’autres méthodes, que la figure piriforme est instable. Les figures piriformes ont-elles joué un rôle cosmogonique? C’était l’avis de Sir Georges Darwin. Dans le refroidissement lent, il est possible que la figure piriforme se creuse tout d’un coup et qu’il y ait une séparation du corps en deux: telle aurait été, dans cette vue, la Lune sortant de la Terre. Il ne faut pas d’ailleurs oublier, dans les applications à la Cosmogonie, que dans ce qui précède il s’agissait de substance homogène, ce qui risque d’éloigner beaucoup de la réalité.

Aucune partie de l’Astronomie prise dans son acception la plus étendue n’est restée étrangère à Poincaré. Un de ses derniers cours fut consacré aux Hypothèses cosmogoniques. Toutes les hypothèses faites depuis Kant et Laplace sur la formation du système solaire y sont discutées d’une façon très serrée, mais Poincaré ne se borne pas à notre système et étend son regard perçant jusqu’aux étoiles et aux nébuleuses. Avec quelle critique pénétrante il discute les vues d’Arrhénius sur la possibilité qu’a l’Univers d’échapper à la mort thermique que semble lui réserver le principe de Carnot, et que de vues pleines d’une imagination grandiose dans le Chapitre où la voie lactée est comparée à la matière radiante de Crookes. Aucun livre ne saurait donner une plus haute idée de la poésie de la Science.

III.

De la Mécanique céleste à la Physique mathématique, la transition est facile. La Physique mathématique offre au mathématicien de nombreux sujets d’étude, soit qu’il se propose de faire un examen critique des principes des théories, soit que, sans discuter ceux-ci, il se contente de chercher les solutions des problèmes précis auxquels a conduit le développement de ces théories. Dans ce dernier cas, la question revient le plus souvent, dans l’état actuel de la Science, à l’intégration d’équations aux dérivées partielles avec certaines conditions aux limites. Sur la Physique mathématique ainsi entendue, qui n’est en fait qu’un Chapitre de l’Analyse, Poincaré a écrit des Mémoires justement renommés. Que d’idées nouvelles sont jetées dans ses recherches sur les fonctions harmoniques; sa méthode du balayage est encore aujourd’hui très précieuse dans le cas où la surface a des singularités, malgré les points de vue introduits récemment dans ces questions par la théorie des équations intégrales. Le Mémoire sur la méthode de Neumann montre que cette méthode peut encore être appliquée quand la surface n’est pas convexe, et renferme des vues originales sur des fonctions, dites fondamentales, généralisant, sur une surface fermée quelconque, les fonctions de Laplace relatives à la sphère. Le travail sur les équations de la Physique mathématique paru en 1894 restera particulièrement mémorable; il y est établi pour la première fois que, pour une équation aux dérivées partielles se présentant dans la théorie de la vibration des membranes et renfermant linéairement un paramètre arbitraire, l’intégrale prenant des valeurs données sur un contour est une fonction méromorphe de ce paramètre, et de là est résultée une démonstration mathématique rigoureuse de l’existence des harmoniques en nombre infini d’une membrane vibrante.

Je voudrais me borner, mais comment passer sous silence les études de Poincaré sur les marées. Laplace avait abordé, comme on sait, dans sa Mécanique céleste le problème des marées au point de vue dynamique, mais l’intégration des équations obtenues en introduisant les conditions complexes de la configuration des mers était alors bien au-dessus des forces de l’analyse. Malgré d’admirables travaux de la plus haute importance au point de vue pratique, la théorie mathématique des marées n’avait fait aucun progrès, mais les récentes études sur la théorie des équations aux dérivées partielles et ses rapports avec les équations intégrales fournissait de nouvelles armes, dont Poincaré s’empare avec sa maîtrise habituelle; il put établir que le problème des marées se ramène à une équation de Fredholm ou à un système de deux équations de Fredholm, suivant qu’on néglige ou non ce qu’on appelle l’attraction du bourrelet. Théoriquement le problème des marées était résolu. Sans doute, pour tirer parti du résultat de Poincaré, il faudra, outre la configuration des côtes, connaître partout la profondeur des mers, et les calculs, auxquels conduit la méthode, seront d’une effroyable complication. C’est souvent le triste destin des mathématiciens que, quand ils sont arrivés après de longs efforts à la solution rigoureuse d’un problème offert par la Mécanique ou la Physique, cette solution est si compliquée qu’elle est pratiquement inutilisable. Ils ont raison cependant de ne pas se décourager, car, outre que l'idée de complication est très relative, on peut espérer tirer de la seule forme d’une solution complète des lois générales que serait impuissante à donner une solution approchée. Dans le livre de Poincaré sur les marées, les analystes peuvent trouver de difficiles sujets de recherches.

Citons encore ici, à cause de leur caractère surtout analytique, les beaux Mémoires des Acta Mathematica où Poincaré a donné, en partie au moins, l’explication des curieux phénomènes observés par M. Gouy sur la diffraction éloignée, en entendant par là les phénomènes optiques dans lesquels la déviation des rayons diffractés est considérable.

IV.

Poincaré ne traita pas seulement de la Physique mathématique en analyste. On est émerveillé devant les vingt Volumes reproduisant son enseignement pendant qu’il occupa la chaire de Physique mathématique à la Sorbonne. Sur les sujets les plus variés, élasticité, hydrodynamique, théorie de la chaleur, thermodynamique, capillarité, optique, électricité, il apparaît comme un dominateur; c’est un jeu pour lui de mettre à nu les mécanismes analytiques qui, sous des manteaux divers, se retrouvent souvent en Physique mathématique, et son esprit critique aime à signaler les difficultés et les contradictions. Ainsi, en Elasticité, tandis qu’on parlait couramment des vingt et un coefficients d’élasticité, Poincaré montre qu’on doit en compter vingt-sept, en général, c’est-à-dire quand les forces extérieures ne sont pas nulles dans l’état d’équilibre naturel. En Optique, une expérience remarquable de Wiener sur l’interférence de deux rayons rectangulaires avait amené à conclure, comme le supposait Fresnel, que la vibration lumineuse se fait perpendiculairement au plan de polarisation. Pour Poincaré, il n’y a rien à tirer de cette expérience, quant à la direction des vibrations. La conclusion ci-dessus est légitime si l’on admet que l’intensité de l’action chimique de la lumière est proportionnelle à la force vive moyenne de l’éther; mais on doit, au contraire, regarder avec Neumann que la vibration est dans le plan de polarisation si cette intensité est proportionnelle à l’énergie potentielle moyenne de l’éther.