I.
Ce qui caractérise le génie mathématique de Poincaré, c’est sa puissance à embrasser d’emblée les questions dans toute leur généralité et à créer de toutes pièces l’instrument analytique permettant l’étude des problèmes posés. D’autres, et c’est ainsi qu’opèrent la majorité des chercheurs, commencent par s’enquérir de ce qui a été fait dans la voie qu’ils veulent explorer; la documentation est pour eux un travail préliminaire. Poincaré s’attarde rarement à étudier les travaux antérieurs. Tout au plus, parcourt-il rapidement quelques-uns d’entre eux; de vagues indications lui permettent de retrouver des Chapitres entiers d’une théorie. Au fond, les questions d’attribution lui furent souverainement indifférentes, et le détail de l’histoire des sciences l’intéressait très peu.
La théorie des groupes fuchsiens et des fonctions fuchsiennes, qui illustra son nom presque au début de sa carrière scientifique, fournit des exemples à l’appui de ces remarques. Quand Poincaré commença ses études sur les groupes fuchsiens, c’est-à-dire sur les groupes discontinus de la forme
qui transforment une circonférence en une circonférence ou, ce qui revient au même, un demi-plan en un demi-plan, de nombreux cas particuliers (depuis Jacobi et Hermite) se rattachant à la théorie des fonctions elliptiques avaient été étudiées. Poincaré ne les connaissait pas alors; son point de départ est simplement le pavage du plan entier par des parallélogrammes égaux, et c’est de là qu’il s’élance pour résoudre dans toute sa généralité le problème du pavage d’un demi-plan par un ensemble de polygones curvilignes. Il paraît avoir été conduit à ce problème par l’étude qu’il faisait alors de la géométrie non euclidienne de Lobatschewsky, dont Beltrami avait donné une interprétation dans le demi-plan euclidien, les courbes jouant le rôle de droites étant alors des circonférences orthogonales à la droite qui limite le demi-plan. La loi de génération des groupes fuchsiens paraissait extrêmement difficile à trouver. On apercevait assez facilement une condition nécessaire; par une analyse profonde, où il montre en même temps un sens géométrique très affiné, Poincaré montre que cette condition est suffisante. C’était là une grande découverte. Il fallait maintenant démontrer l’existence de fonctions invariables par les substitutions des groupes trouvés. Poincaré forme alors des séries entièrement nouvelles (fonctions thêtafuchsiennes) qui lui permettent d’arriver au but; la théorie des fonctions fuchsiennes était créée. Une magnifique moisson allait en sortir: l’intégration des équations différentielles linéaires algébriques à points singuliers réguliers, et l’expression des coordonnées des points d’une courbe algébrique quelconque par des fonctions uniformes (fuchsiennes) d’un paramètre.
Mais Poincaré va encore plus loin dans ses Mémoires célèbres des premiers Volumes des Acta mathematica. Les substitutions des groupes fuchsiens laissaient invariable une circonférence. N’y aurait-il pas des groupes linéaires discontinus plus généraux? La recherche de la génération de tels groupes, telle que la donne Poincaré (groupes kleinéens), témoigne d’une audace extraordinaire; il la déduit de la division d’un demi-espace (espace situé du même côté d’un plan) en polyèdres limités par des surfaces sphériques orthogonales au plan limite. Certains de ces groupes kleinéens conduisent à considérer des courbes étranges, surtout pour l’époque, ayant des tangentes mais n’ayant pas de courbure; ce sont elles qui, dans une certaine mesure, jouent pour les fonctions kleinéennes le même rôle que jouait la circonférence pour les fonctions fuchsiennes.
Les Mémoires précédents mettaient, à moins de trente ans, Poincaré hors de pair. Sa carrière scientifique ne faisait cependant que commencer. D’autres travaux d'Analyse pure vont, dans les années suivantes, asseoir définitivement sa renommée. Il généralise en 1884, dans un court article, le théorème d’uniformisation des fonctions algébriques d’une variable, en faisant voir que, si y est une fonction analytique quelconque de
, on peut exprimera et
