par des fonctions analytiques d’une variable, uniformes dans tout leur domaine d’existence. C’est dans ce Mémoire qu’on voit apparaître pour la première fois les surfaces de Riemann ayant un nombre infini de feuillets. Poincaré y est revenu récemment pour compléter quelques points: la question revient, au fond, à établir la possibilité d’une représentation conforme d’une surface de Riemann simplement connexe ayant un nombre infini de feuillets, soit sur un cercle, soit sur un plan entier. L’uniformisation des courbes algébriques, établie d’abord par Poincaré dans sa théorie des fonctions fuchsiennes, n’est plus alors qu’un cas particulier d’une loi très générale. Théoriquement au moins, l’étude des fonctions analytiques multiformes d’une variable se trouve ramenée à l’étude des fonctions uniformes.
C’est un des grands titres de gloire de Cauchy d’avoir créé la théorie des fonctions de variables complexes et d’avoir ainsi ouvert un domaine immense à l’Analyse mathématique. Cauchy avait considéré les intégrales simples, mais l’extension aux intégrales doubles de son théorème fondamental relatif aux intégrales prises le long d’un contour présentait de très sérieuses difficultés. Poincaré est parvenu à les surmonter. Il définit d’abord avec précision ce qu’on doit entendre par l’intégrale double
d’une fonction analytique
de deux variables complexes
et
, prise sur un continuum à deux dimensions situé dans l’espace à quatre dimensions correspondant aux deux variables complexes, et il établit que, si le continuum d’intégration est fermé et si l’on peut le déformer sans rencontrer des singularités de