, l’intégrale double garde la même valeur. Ce résultat, capital dans la théorie des fonctions de deux variables, a posé un grand nombre de questions. Si
est une fonction rationnelle, il y a lieu d’envisager les résidus de l’intégrale double; si
est une fonction algébrique de
et
, on a été ultérieurement conduit à considérer les périodes de l’intégrale double. Il nous faut encore citer, dans le domaine des fonctions analytiques de deux variables, le théorème d’après lequel toute fonction uniforme de deux variables présentant partout à distance finie le caractère d’une fonction rationnelle peut se mettre sous la forme d’un quotient de deux fonctions entières. La démonstration en est très délicate; l’auteur sait y manier habilement les quatre équations différentielles auxquelles satisfait la partie réelle d’une fonction analytique, dont la seule considération eût arrêté un chercheur moins puissant.