C’est dans une période de cinq à six ans (1880-1886) que Poincaré a publié les travaux dont nous venons de parler. Jamais il ne fit preuve d’un plus grand esprit d’invention, jamais n’apparurent mieux ses dons de voyant. Sa merveilleuse intuition sautait par-dessus des difficultés qui auraient troublé des esprits obligés d’avancer pas à pas. De son regard pénétrant, il voit les points où il faut donner l’assaut et il arrive d’un bond au cœur de la place attaquée. Aussi a-t-on parfois l’impression qu’il y a dans le développement de sa pensée quelque chose de heurté, comme si le voile cachant la vérité se déchirait brusquement devant lui. Il y a, dans ses Mémoires, rapidement écrits d’assez nombreuses erreurs de détail, mais sans importance, sauf de rares exceptions, sur les résultats essentiels. Poincaré était de ces rares savants pour qui n’est pas faite la devise Pauca, sed matura, et les mathématiciens trouveront longtemps des mines à exploiter dans les idées qu’il jetait à la hâte.
II.
Nous sommes loin d’avoir fait allusion à tous les travaux importants de Poincaré dans la théorie des fonctions analytiques; rappelons seulement d’un mot ses études sur les fonctions entières et ses recherches concernant les développements asymptotiques des intégrales des équations différentielles linéaires sur les droites aboutissant à un point singulier irrégulier au sens de Fuchs. En même temps qu’il continuait ses travaux précédents, Poincaré poursuivait des recherches pouvant trouver une application immédiate à des questions de Géométrie et de Mécanique. Il a consacré de nombreux Mémoires à l’étude des courbes définies par des équations différentielles, c’est-à-dire à l’étude des équations différentielles dans le champ réel. Le premier Mémoire montre nettement le point de vue auquel il va se placer; il s’agit de se rendre compte de l’allure générale des courbes intégrales (ou caractéristiques). Ainsi soit l’équation
où
et
sont des polynômes en
