et
; on va d’ailleurs remplacer le plan (
) par une sphère qui lui correspond homographiquement. Après la discussion des divers points singuliers (foyers, cols, nœuds, centres exceptionnellement) vient la distinction entre les caractéristiques dont la continuation se trouve arrêtée par un nœud et celles qui, à partir d’un certain moment, ne passent plus par un nœud. Au sujet de ces dernières, Poincaré établit qu’elles sont, ou bien des cycles (courbes fermées), ou bien des courbes asymptotes à un cycle limite (qui peut se réduire à un foyer). Il faut alors fixer approximativement la position des cycles limites; c’est là une question très délicate, qu’on ne peut espérer résoudre que si les cycles limites sont en nombre fini.
La question est plus difficile encore pour les équations du premier ordre et de degré supérieur. Il peut arriver ici, contrairement au cas précédent, qu’une caractéristique puisse se rapprocher, autant qu’on voudra, d’un point arbitraire dans une aire convenable. De plus, et cela est capital, le genre riemannien d’une certaine surface fermée attachée à l’équation différentielle intervient dans la discussion des caractéristiques. Ce n’est pas un des moindres mérites de Poincaré d’avoir montré le rôle de l’Analysis situs dans ces questions; depuis cette époque, il ne cessa d’ailleurs de s’intéresser aux problèmes de la Géométrie de situation, qui exigent une si grande tension d’esprit dans le cas des multiplicités à plus de trois dimensions, et sur lesquels il écrivit de profonds mémoires, d’une lecture difficile.
Plus complexe encore est le cas des équations d’ordre supérieur au premier; les Mémoires consacrés aux équations du second ordre sont pleins d’idées suggestives et mettent en évidence les éléments fondamentaux du problème. L’étude des points singuliers ne suffit plus; il est nécessaire d’introduire une notion nouvelle. Soit une courbe fermée quelconque et un domaine comprenant tous les points voisins de cette courbe; il faut étudier la forme générale des caractéristiques à l’intérieur de ce domaine, et les problèmes si délicats relatifs à la stabilité se présentent d’eux-mêmes. Tout était à créer dans ces études, alors toutes nouvelles, où Poincaré a été un précurseur et qui ne seront pas de sitôt épuisées.
Poincaré ne cessait de penser aux applications de ses résultats à la Mécanique céleste et d’une manière générale à la Mécanique analytique. Comme par une ironie singulière d’un dieu malin poursuivant les mathématiciens qui veulent appliquer leurs études aux phénomènes naturels, la forme des équations de la Mécanique analytique correspond aux cas où la discussion est la plus délicate. Le fruit de ces longues méditations fut l’apparition d’un Ouvrage en trois volumes: Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste. L’effort analytique dont témoignent ces volumes ne saurait être trop loué; les méthodes mises en œuvre sont en elles-mêmes extrêmement importantes pour l’Analyse, et peuvent être utilisées pour d’autres questions. Sans doute, le problème de Mécanique céleste qu’avait d’abord en vue Poincaré, je veux dire le problème des
corps, n’a pas été résolu malgré l’immense labeur dépensé. Mais il importe peu; les méthodes introduites en Mécanique analytique sont plus précieuses que la solution même de ce problème et contribueront un jour à sa solution[1].