Les résultats négatifs contenus dans le grand Ouvrage de Poincaré attirent tout d’abord l’attention. L’auteur établit que le problème des trois corps n’admet pas d’autre intégrale première uniforme que les intégrales des forces vives et des aires. Quelle puissance de déduction dans la démonstration de ce théorème très caché, où se trouvent utilisés l’existence des solutions périodiques et le fait que les exposants caractéristiques ne sont pas tous nuis. Il en est de même pour la démonstration de la divergence, au point de vue purement mathématique, des séries employées par les astronomes en Mécanique céleste quand on suppose les conditions initiales arbitraires; cela n’empêche pas d’ailleurs leur utilisation courante en Astronomie, où il arrive que les termes employés commencent par décroître. Ces résultats toutefois ne sont pas établis par Poincaré dans toute leur généralité. Ainsi, dans le cas de trois corps, les masses de ceux-ci ne sont pas quelconques; l’une étant
, les masses des deux autres sont de la forme
et
,
étant une constante suffisamment petite. Il n’est guère douteux que les conclusions valent, quelles que soient les masses, et dans le Mémoire qu’il écrivit peu de temps avant sa mort dans les Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Poincaré a indiqué une voie à suivre pour arriver au résultat.
C’est clans les mêmes conditions, c’est-à-dire en supposant dans les équations la présence d’un paramètre très petit