, que se place Poincaré en étudiant certaines solutions particulières remarquables des équations de la Mécanique analytique, et en particulier du problème des trois corps. De solutions périodiques connues pour
, on peut déduire par continuité l’existence de solutions de même nature pour
très petit. Par cette voie est établie dans des cas très variés l’existence de solutions périodiques pour le problème des trois corps. Cette étude des solutions périodiques est un chef-d’œuvre. Nous sommes loin avec elles des deux cas particuliers considérés par Lagrange, où les trois corps restent au sommet d’un triangle équilatéral et où les trois points restent en ligne droite. Outre les solutions périodiques, Poincaré établit aussi l’existence de solutions asymptotiques aux solutions périodiques, et de solutions doublement asymptotiques à ces solutions (c’est-à-dire asymptotiques pour
et
). La démonstration relative à ces dernières était extrêmement difficile et, de tous les théorèmes dont il enrichit la Mécanique analytique, aucun ne coûta un aussi grand effort à Poincaré qui dut se borner ici au cas très particulier qu’il appelait le problème restreint. On peut espérer que les solutions périodiques pourront être employées comme première approximation dans les calculs de la Mécanique céleste, mais il serait prématuré de se prononcer à ce sujet.