Le Tome III des Nouvelles méthodes de la Mécanique céleste renferme les parties les plus profondes de l’Ouvrage. On avait rencontré incidemment des invariants intégraux, Liouville par exemple en Mécanique analytique, et Helmholtz dans la théorie des tourbillons; mais la théorie générale de ces invariants est une création originale de Poincaré, ainsi que les belles applications qu’il en fait à l’étude de la stabilité. Dans des problèmes très étendus de Mécanique analytique, il est conduit à démontrer qu’il y a stabilité à la Poisson, c’est-à-dire que, parti d’une position, le système dans la suite du mouvement vient à repasser, sinon par la même position, du moins par une position infiniment rapprochée de la première. Il est curieux de remarquer que, dans cette question, l’idée initiale de la démonstration est la même que celle utilisée bien des années auparavant clans l’étude de la convergence des séries thêtafuchsiennes. Le théorème général sur la stabilité à la Poisson n’est valable que sous certaines conditions qui, en particulier, ne sont pas remplies dans le cas du problème des
corps. Dans ce dernier cas, Poincaré est conduit à envisager le prolongement analytique des solutions après un choc[2], et il établit que, sauf pour des solutions exceptionnelles, il y aura stabilité à la Poisson pour la trajectoire ou son prolongement analytique.
Qu’on me permette ici une remarque. Dans des questions relatives à la réversibilité, Poincaré et d’autres après lui s’appuient sur ce théorème général que, dans les mouvements hamiltoniens, il y a stabilité à la Poisson, au sens où nous venons de l’employer. Il ne faut pas oublier qu’il peut y avoir une infinité de solutions où se présentent des circonstances analogues au choc, c’est-à-dire des discontinuités dans certaines fonctions figurant dans les équations, et pour lesquelles par conséquent il n’y aura stabilité à la Poisson qu’en supposant le mouvement prolongé analytiquement. Ces solutions, qui deviennent d’autant plus fréquentes que le nombre des degrés de liberté est plus grand, ne risquent-elles pas de rendre illusoires les arguments invoqués dans les questions concernant la réversibilité?
Les recherches de Poincaré sur la figure des corps célestes témoignent d’une singulière force d’analyse. Il s’agissait d’étudier certaines figures d’équilibre d’une masse fluide homogène dont les éléments s’attirent mutuellement suivant la loi de Newton et qui tourne uniformément autour de cet axe. Il est connu depuis longtemps que, si la vitesse angulaire
ne dépasse pas une certaine limite, la figure d’équilibre peut être ellipsoïdale; il y a deux vitesses angulaires
, et
