[SECTION IV.]
MÉCANIQUE ANALYTIQUE, MÉCANIQUE CÉLESTE
ET
PHYSIQUE MATHÉMATIQUE.

[Extrait de l'Analyse due a PHILIPPE GILBERT des Notes insérées par M. GASTON DARBOUX dans le «Cours de Mécanique par M. DESPEYROUS».]

Ce qui donne au Cours de Mécanique de Despeyrous une valeur et un intérêt particuliers, ce sont les nombreuses Notes qu'y a jointes M. G. Darboux, en les extrayant de ses propres travaux parus dans les Mémoires de la Société des Sciences de Bordeaux, le Bulletin des Sciences mathématiques, etc. Arrêtons-nous un instant sur ces Notes, aussi remarquables par la forme que par le fond.

Le but de la Note I est d'examiner à fond les démonstrations purement statiques du parallélogramme des forces (Daniel Bernoulli, D'Alembert, Cauchy, etc.), d'indiquer les postulats qu'il est nécessaire d'introduire pour rester rigoureux et ne rien emprunter à la théorie du mouvement. L'Auteur discute avec beaucoup de finesse et de rigueur tous les points, et prouve que les postulats nécessaires et suffisants peuvent se réduire à quatre: 1º la résultante de plusieurs forces appliquées à un même point doit être unique et déterminée, indépendante de l'ordre dans lequel on les compose; 2º indépendante de l'orientation du système des forces dans l'espace; 3º la loi de la composition des forces doit se réduire à l'addition algébrique dans le cas de forces de même direction; 4º une certaine fonction φ(P) doit être continue (ou être toujours positive)....

La Note VII contient la solution complète de ce joli problème: Trouver la figure d'équilibre d'un fil flexible parcouru par un courant, sous l'action d'un pôle d'aimant. La tension du fil est constante; la figure d'équilibre est une ligne géodésique d'un cône de révolution qui a son sommet au pôle. M. Darboux donne le moyen de construire ce cône, connaissant la longueur du fil et ses extrémités.

La Note VIII constitue un beau Mémoire sur le mouvement d'une figure plane dans son plan. Il y est montré que l'aire décrite par le rayon vecteur d'un point de la figure mobile, quand celle-ci passe d'une position à une autre, est égale à la moitié de la rotation de la figure multipliée par la puissance de ce point par rapport à un cercle déterminé de la figure mobile. Dans les mouvements fermés, le centre de ce cercle est au centre de gravité des courbures (Steiner) de la roulette mobile. Si l'on prend trois points en ligne droite, on trouve des relations élégantes comprenant le théorème de Holditch. De même, en étudiant par l'analyse les enveloppes des droites de la figure, on retrouve le théorème bien connu et celui-ci: L'arc enveloppé par une droite quelconque, entre deux positions, a pour mesure l'angle de rotation multiplié par la distance de la droite à un point fixe de la figure mobile. Ce Mémoire a paru (plus complet) dans le Bulletin de 1878, à la suite d'une très intéressante Communication de M. Liguine sur les aires des roulettes.

Dans la Note IX, M. Darboux décrit un nouveau système articulé à cinq tiges, de M. Hart, propre à décrire une ligne droite et se transformant, dans certaines conditions, en un compas à ellipses. Il donne la théorie de cet appareil et l'extension à un système plus compliqué. On consultera sur ce sujet un autre travail de M. Darboux, publié dans le tome III, 2e série, du Bulletin, et les très instructives Conférences de M. J. Neuberg (Liége, 1886)....