Dans la Note XII, l'Auteur traite un problème posé par M. J. Bertrand à propos des lois de Kepler; il démontre géométriquement ce résultat dû à M. Halphen: Quand une force fonction de la position du point lui fait décrire une trajectoire plane quelle que soit la vitesse initiale, cette force passe par un point fixe ou est parallèle à une droite fixe; il résout par l'analyse cette question: Un point sollicité par une force centrale décrit une conique, trouver la loi de la force en fonction de la position. Outre les deux solutions connues
et
,
M. Darboux en trouve deux autres dans lesquelles la force dépend de r et de ω, avec l'équation générale correspondante de la trajectoire; il fait voir qu'il n'y a pas d'autres solutions (Comptes rendus, 1877, 1er semestre, pp. 760 et 936)....
La Note XVI est consacrée au développement d'un théorème énoncé par l'Auteur dans son Mémoire sur les théorèmes d'Ivory: Si l'on sait calculer l'attraction d'un ellipsoïde sur un point quelconque pour une loi d'attraction en fonction ψ'(u) de la distance, on saura la calculer pour la loi
k étant une constante quelconque.
La Note XVII est très importante: elle roule sur l'herpolhodie et sur la théorie de Poinsot. La méthode est entièrement analytique. Après avoir établi les équations de la polhodie, M. Darboux en déduit celles de l'herpolhodie en suivant une voie bien plus commode que celle de Poinsot, habituellement adoptée, et qui consiste à établir entre le rayon vecteur et l'arc de la polhodie une relation qui subsiste nécessairement pour l'herpolhodie. Il se sert de cette remarque: Les aires élémentaires du cône fixe et du cône roulant coïncident, et il en est de même de leurs projections sur le plan tangent à l'ellipsoïde central. Or, on obtient facilement les projections de l'aire élémentaire sur les plans principaux de l'ellipsoïde et les angles de ceux-ci avec le plan tangent, ce qui conduit rapidement et sous forme élégante à l'expression de l'aire élémentaire de l'herpolhodie, le pôle étant à la projection du centre de l'ellipsoïde sur le plan tangent. Joignant cette formule à l'expression de la vitesse rotatoire au moyen du rayon vecteur, on trouve deux équations du mouvement du pôle instantané de rotation du corps sur le plan tangent, de la forme