ρ, θ étant les coordonnées polaires de la courbe, F(ρ2) un polynome du 3e degré en ρ2. Il montre que tout système de deux équations semblables représente une herpolhodie, si l'on a la relation n2 = k2 F(0); mais la surface roulante n'est pas nécessairement un ellipsoïde d'inertie.

M. Darboux met encore l'équation différentielle de l'herpolhodie sous d'autres formes, dont l'une, très simple, lui permet de démontrer presque sans calcul que, dans le cas d'un ellipsoïde d'inertie, la courbe ne peut avoir de point d'inflexion. Ce théorème avait été signalé par M. de Sparre et souvent démontré depuis, mais M. Hess, de Munich, l'avait trouvé dès 1880 (Ueber das Rollen einer Fläche vom zweiten Grade, u. s. w.).

Parmi d'autres résultats importants donnés dans ce travail, notons celui-ci: En combinant la représentation du mouvement par le roulement du cône mobile sur le cône fixe de Poinsot, avec une autre représentation qui lui est due aussi, le roulement d'un troisième cône sur le plan tangent invariable, on peut représenter en même temps la loi du temps, et l'on a une image complète du mouvement du corps. M. Sylvester a donné une solution du même problème (Philos. Trans., 1866): M. Darboux s'en occupe; il établit, au sujet des normales de longueur constante menées à l'ellipsoïde le long de la polhodie, un beau théorème de géométrie, qui lui fournit une infinité de manières de réaliser le mouvement de Poinsot par le roulement d'un ellipsoïde, ou même d'une ellipse, sur un plan fixe. Il déduit de là, sans calcul, la loi du mouvement trouvée par Jacobi au moyen des fonctions elliptiques.

La Note XVIII est intitulée Sur la théorie de Poinsot et sur deux mouvements différents correspondant à une même polhodie. Dans ce travail d'un haut intérêt, la question traitée conduit à des résultats géométriques inattendus et, en combinant un théorème de J. de la Gournerie avec le théorème d'Ivory sur les surfaces homofocales, on obtient le beau théorème de M. Greenhill sur l'hyperboloïde articulé.

La Note XIX, qui exige l'étude de la précédente, est aussi très remarquable. M. Darboux montre d'abord que, dans les deux mouvements de Poinsot qui répondent à une même polhodie, le mouvement relatif d'une herpolhodie par rapport à l'autre est le mouvement d'un corps pesant qui aurait une sphère pour ellipsoïde d'inertie relatif au point fixe. Il ramène à ce cas celui d'un solide de révolution quelconque et retrouve ainsi le beau théorème de Jacobi mis au jour par M. Weierstrass (Œuvres de Jacobi, t. II): Le mouvement le plus général d'un solide pesant autour d'un point de son axe de figure est une combinaison de deux mouvements de Poinsot attribués à un système mobile, l'un par rapport à des axes fixes, l'autre par rapport au corps considéré. Il admet cette représentation géométrique remarquable: le roulement d'un cône qui a pour base une herpolhodie sur une sphère ayant son centre sur la verticale du point fixe, et il étudie la courbe sphérique décrite par le pôle instantané....

La Note XXI, intitulée Étude géométrique sur les percussions et le choc des corps, constitue un Mémoire important sur la théorie des percussions, exposée d'une manière bien plus rigoureuse qu'on ne le fait d'habitude: ce Mémoire renferme plusieurs belles propriétés générales relatives au choc de deux systèmes matériels.

La Note XXII a pour titre: Sur les rapports de la théorie des moments d'inertie avec celle des surfaces homofocales. On connaît, là-dessus, un célèbre théorème de Binet qui donne les axes principaux d'inertie relatifs à un point quelconque de l'espace. En introduisant deux autres espèces de moments d'inertie (relatifs à un point et à un plan), M. Darboux démontre une série de beaux théorèmes concernant les moments d'inertie, les surfaces homofocales, etc.