vinssent à se pénétrer sur la plus petite assiette possible. Suivant toujours leurs raisonnements avec rigueur, ils reconnurent également que la résistance des arcs, dans le système de voûtes nouvellement adopté, est en raison de la hauteur des claveaux et non en raison de leur largeur, et qu'à section égale comme surface, un claveau, par exemple (47), posé ainsi qu'il est indiqué en A, résistait beaucoup plus à la pression qu'un claveau posé suivant le tracé B. Or, vers le commencement de la seconde moitié du XIIe siècle, les claveaux des arcs sont généralement compris dans une section carrée C, de huit pouces (0,22 c.) à un pied ou dix-huit pouces de côté (0,33 c. et 0,50 c.), suivant la largeur de la voûte; tandis que, vers la fin de ce siècle, si les claveaux des arcs doubleaux conservent encore cette section, ceux des arcs ogives (arcs dont le diamètre est plus grand cependant, mais qui n'ont pas à résister à la pression des arcs-boutants) perdent une partie de leur largeur et conservent du champ, ainsi qu'on le voit en D. Prenant moins de largeur de E en F, leur trace sur le tailloir des chapiteaux occupait moins de place, exigeait un évasement moins considérable, et s'accommodait mieux aux pénétrations; n'ayant plus qu'une arête mousse en G ou un simple boudin, la retombée biaise sur les tailloirs n'offrait plus les surfaces gauches et gênantes que donnaient les arcs dont la section était C. Peu à peu, les architectes renoncèrent même à cette section C pour les arcs doubleaux et adoptèrent des sections analogues à celle H, offrant de même de I en K une grande résistance de champ, et de L en M une résistance suffisante de plat pour éviter les torsions, déjà maintenues par les remplissages des voûtes. C'est ainsi que chaque jour, ou plutôt après chaque tentative, les architectes arrivaient à supprimer, dans la construction des voûtes, tout ce qui n'était pas absolument indispensable à leur solidité, qu'ils abandonnaient les dernières traditions romanes afin d'obtenir; 1º une plus grande légèreté; 2º des facilités pour asseoir les sommiers, puisque ces sommiers allaient dorénavant commander la construction des piles, et, par suite, de tous les membres inférieurs des édifices.
Mais nous sommes obligés, au risque de paraître long dans notre exposé du système des voûtes gothiques, de procéder comme les constructeurs de ce temps, et de suivre, sans la quitter un instant, la marche de leur progrès. Puisque ces constructeurs avaient admis l'arc-boutant, c'est-à-dire une résistance opposée sur certains points aux poussées des voûtes, il fallait bien réunir ces poussées et faire que leur résultante n'agît exactement que sur ces points isolés; donc, il était de la dernière importance que les arcs doubleaux et les arcs ogives se pénétrassent de façon: 1º à ce que la résultante de leurs poussées se convertît en une seule pression au point où venait butter la tête de l'arc-boutant; 2º à ce qu'aucune portion de poussée ne pût agir en dehors ou à côté de cette résultante; en un mot, à ce que le faisceau des poussées fût parfaitement dirigé suivant une seule et même ligne de pression au moment de rencontrer l'arc-boutant comme un obstacle. Des voûtes dont les sommiers étaient posés conformément à la fig. 46 ne pouvaient atteindre ce résultat absolu; leurs poussées devaient être et sont en effet diffuses, et ne se réunissent pas exactement en une résultante dont la direction et la puissance puissent être exactement appréciées. Mais si, au lieu de ces premiers claveaux posés tant bien que mal à côté les uns des autres sur les tailloirs des chapiteaux, occupant une assiette large, sans solidarité entre eux, nous supposons un sommier pris dans une seule assise; si nous combinons le départ des arcs de façon à ce qu'ils se pénètrent complétement, pour ne faire qu'un seul sommier au lieu de trois, déjà nous aurons fait un pas, car la résultante des pressions diverses se produira sur un seul morceau de pierre qu'il faudra seulement rendre immobile; mais si encore, non contents de ce premier résultat, ayant groupé nos naissances d'arcs en un faisceau aussi serré que possible, nous ne considérons les sommiers que comme des assises en encorbellement, que nous placions plusieurs de ces assises ou sommiers les uns sur les autres en taillant leurs lits horizontaux jusqu'à ce que les développements des courbes de chacun des arcs nous permettent de dégager leurs claveaux de cette masse en tas-de-charge, alors nous serons certains d'avoir à la base de nos voûtes une résultante de pressions agissant suivant une ligne dont nous ne pourrons exactement apprécier le point de départ, la puissance et la direction; de plus, nous serons assurés que la tête de l'arc-boutant viendra s'appuyer, non sur une maçonnerie sans liaison et sans force, mais contre une construction rigide présentant une surface homogène, comme le serait la pièce de charpente contre laquelle on appuie la tête d'un étai. Mais nous avons fait des progrès; d'abord, nous avons reconnu que les voûtes en arcs d'ogive comprenant deux travées, c'est-à-dire sur plan carré dont les diagonales sont coupées par un arc doubleau intermédiaire, nous obligent à donner aux voûtes une forme très-bombée qui nous gêne pour poser les charpentes; car les diagonales du carré étant beaucoup plus longues que l'un de ses côtés, ces diagonales, servant de diamètre aux arcs ogives, élèvent leur clef au-dessus de la naissance à une hauteur égale à ce demi-diamètre (voy. fig. 20, 20 bis et 21), hauteur que la clef de nos arcs doubleaux ne peut atteindre, à moins de donner beaucoup d'aiguïté à ces arcs.
Vers 1230, on renonce donc à ce mode de voûte sur plan carré, et l'on établit les arcs ogives des hautes nefs sur plan barlong, c'est-à-dire que chaque travée porte sa voûte complète. Nous pouvons ainsi faire que les clefs des arcs ogives, doubleaux et formerets, atteignent un même niveau ou à peu près. Les constructeurs, voulant avoir des sommiers à lits horizontaux jusqu'au point où ces arcs cessent de se pénétrer, observent que la méthode la plus simple pour que ces sommiers ne donnent pas de difficultés de tracé consiste à donner aux arcs ogives et arcs doubleaux un même rayon.
Soit donc une voûte sur plan barlong (48), l'arc ogive AC rabattu est un plein cintre ABC; reportant le demi-diamètre AD sur la ligne de base de l'arc doubleau AE, nous obtenons en F le centre de l'une des branches de l'arc doubleau, et nous traçons l'arc AG, qui possède le même rayon que l'arc ABC; reportant la longueur AF de E en F', nous obtenons en F' le second centre de l'arc doubleau, et traçons la seconde branche EG. C'est ainsi que sont tracés les arcs des premières voûtes gothiques sur plan barlong [9]. Donc les courbes des arcs ogives et arcs doubleaux étant les mêmes, leurs coupes sont pareilles et leurs sommiers ne présentent aucune difficulté de tracé. Voyons maintenant à tracer ces sommiers.
Soit (48 bis) AB la directrice de l'arc doubleau, AC les directrices des arcs ogives. A est posé sur le nu du mur. De ce point A, prenant sur la ligne AB une longueur AD égale à l'épaisseur du claveau de l'arc doubleau, et considérant AD comme rayon, nous formons le demi-cercle D'DD". Nous traçons alors la coupe de l'arc doubleau sur plan horizontal. Nous tirons deux parallèles EF aux directrices AC d'arcs ogives, en laissant entre ces parallèles une distance égale à la largeur des claveaux d'arcs ogives. Ce sont les projections horizontales des arcs ogives. Prenant les points G de rencontre des lignes d'axes des arcs ogives avec la demi-circonférence D'DD'' comme l'intrados des arcs ogives, nous traçons la coupe de ces arcs ogives sur plan horizontal. Nous avons alors le lit inférieur du premier sommier. Dans les vides qui restent entre la demi-circonférence D'DD" et les arcs ogives en H, nous faisons passer les colonnettes qui sont destinées à porter les formerets. Le contour du lit inférieur du premier sommier obtenu, nous pouvons tracer (seulement alors) le tailloir du chapiteau, soit en retour d'équerre comme l'indique IKL, soit en étoile comme l'indique I'K'L'. Sous ces tailloirs, on peut ne mettre qu'un seul chapiteau et une seule colonne M, puisque notre intention est de réunir autant que possible les arcs en un faisceau étroit. Ce chapiteau, qui est une console, une pierre en encorbellement soulagée par la colonne isolée, fait sortir trois corbeilles d'une astragale unique.
Il nous faut rabattre sur la ligne NO l'arc doubleau, et sur la ligne AC l'arc ogive. Il est clair que ces deux arcs cessent de se pénétrer au point P sur plan horizontal. Du point P, élevant une perpendiculaire PP' sur la ligne NO, base de l'arc doubleau, et une seconde perpendiculaire PP" sur la ligne AC, base de l'arc ogive, cette première perpendiculaire PP' viendra rencontrer l'extrados de l'arc doubleau rabattu au point Q. Ce point Q indique donc la hauteur où l'arc doubleau se dégage de l'arc ogive: c'est le niveau du lit du dernier sommier. Il s'agit de diviser la hauteur PQ en un certain nombre d'assises, suivant la hauteur des bancs. Supposons que trois assises suffisent: le lit supérieur du premier sommier sera en R, du second en S et du troisième en T. En Q, l'arc se dégageant, nous pouvons tracer la première coupe QV tendant au centre de l'arc. À partir de ce point, les claveaux, dont la coupe est tracée en U, sont indépendants. Il suffira de procéder de la même manière pour l'arc ogive, en traçant les lits R'S'T' à partir de la ligne de base AC, distants entre eux comme le sont les lits RST. L'arc ogive étant moins épais que l'arc doubleau, il restera derrière son extrados, en Q', jusqu'à la rencontre avec l'extrados de l'arc doubleau, une petite surface de lit horizontal qui nous sera fort utile pour commencer à poser les moellons de remplissage des triangles des voûtes. Ceci fait, nous pouvons donner à l'appareilleur chacun des lits de ces sommiers, en reportant sur plan horizontal, comme nous l'avons tracé en X, les coupes que nous donnent sur les arcs rabattus les lits RST, R'S'T'. Alors nous obtenons: 1º en a le lit inférieur du premier sommier, déjà tracé comme souche des arcs; 2º en b le lit supérieur du premier sommier qui fait le lit inférieur du second; 3º en c le lit inférieur du troisième sommier; 4º en e le lit supérieur de ce troisième sommier avec ses coupes inclinées marquées en d. Il n'est pas besoin de dire que ces sommiers portent, sinon tous, au moins les deux premiers, queue dans le mur dont le nu est en YZ. Voudrions-nous serrer plus encore les arcs ogives contre l'arc doubleau: il suffirait, en commençant l'opération, de rapprocher, sur plan horizontal, les lignes d'axe des arcs ogives du point A. Souvent même, ces lignes d'axe se rencontrent au point A. Pour ne point compliquer inutilement la figure, nous avons supposé des arcs simplement épannelés; sont-ils chargés de moulures, qu'on ne procède pas autrement sur l'épure, mais en traçant les profils, car il est nécessaire de connaître, sur les divers lits horizontaux des sommiers, les coupes biaises qui sont faites sur ces profils, afin de donner au tailleur de pierre des panneaux qui tiennent compte de la déformation plus ou moins sensible des moulures à chaque lit.
Pour faire comprendre, même aux personnes qui ne sont pas familières avec la géométrie descriptive, l'opération que nous venons de tracer, nous supposons (48 ter) les trois sommiers de la figure précédente, vus les uns au-dessus des autres en perspective et moulurés. En A, on voit le premier sommier, en B le second, en C le troisième avec ses coupes normales aux courbes des arcs, en D les claveaux des arcs doubleaux, en D' ceux des arcs ogives affranchis des sommiers, et dès lors semblables entre eux jusqu'à la clef.