Soit (11) en A un arc brisé engendré par un triangle équilatéral, il est évident que le rayon ab est égal à la base ad; que si nous traçons le quart de cercle do, le segment bo sera la moitié du segment db, puisque le triangle équilatéral divise le cercle en six parties égales. La clef b est donc le troisième point du quart de cercle divisé en trois segments égaux; c'est la raison qui a fait donner parfois le nom d'arc en tiers-point à l'arc équilatéral, c'est-à-dire d'arc dont la clef tombe sur le troisième point du quart de cercle divisé en trois parties égales. Soit en B l'arc brisé auquel le nom de tiers-point doit être appliqué de préférence à tout autre, la base ce étant divisée en trois parties égales, cette base pourra être divisée en six parties égales, et la perpendiculaire abaissée du sommet de l'arc sur la base divisera celle-ci en deux parties égales; donc le rayon fe ayant quatre de ces parties, le rayon fg en contiendra également quatre. Or, supposons que pour tracer l'épure des claveaux de l'arc brisé B nous n'ayons que l'espace fBg, la base ce étant connue, nous en prendrons le sixième que nous tracerons en B'f' (voir le figuré C); sur la base B'f', du point B' nous élèverons une perpendiculaire B'g'; prenant alors un rayon f'g' ayant quatre fois la longueur de B'f' qui est le tiers du demi-diamètre de l'arc, et posant la pointe du troussequin en f, la rencontre de la ligne f'g' avec la perpendiculaire B'g' donnera le point g', sommet de l'arc brisé. Nous pourrons tracer une portion d'arc g'i, donner l'épaisseur des claveaux iK et tracer les joints d'un de ces claveaux. Tous les claveaux de l'arc seront donc donnés par celui lmno, et nous pourrons, sur ce panneau, en faire tailler des milliers. Reste à tracer la clef ou plutôt la contre-clef, puisque les arcs brisés ont un joint à la clef. Le prolongement de la perpendiculaire B'g' nous donnera le panneau de cette contre-clef, comme l'indique notre figure. Mais nous avons encore un autre moyen d'obtenir son panneau (voir le tracé D). Soit la ligne pq l'épaisseur des claveaux, nous la divisons en quatre parties; traçant du point q, au moyen d'une sauterelle, un angle qrs égal à l'angle f'ut, nous prendrons sur le côté qs une longueur qv égale à l'une des quatre parties de la ligne d'épaisseur pq; nous réunirons le point p au point v, et nous aurons tracé le triangle pqv à ajouter aux claveaux pour former le panneau de la contre-clef. Pour tracer les panneaux des claveaux de l'arc quinte-point figuré en G, on procèdera de la même manière; seulement, la base de l'arc étant divisée en cinq parties égales, nous prendrons une de ces parties et demie pour commencer l'opération et nous en prendrons quatre pour le rayon. Ce n'était donc pas au hasard que les constructeurs du moyen âge, dans le tracé de leurs arcs brisés, posaient les centres sur la ligne de base ou de naissance de ces arcs, et comme preuve de leur méthode de tracé d'épures partielles, on peut observer que les claveaux ayant été taillés sans connaître exactement le nombre nécessaire à chacune des branches de l'arc, ou la largeur de douelle, il arrive souvent qu'au moment de fermer l'arc, on pose une contre-clef très-large ou un dernier claveau beaucoup plus mince que les autres.
Mais une figure singulière, tracée dans l'Album de Villars de Honnecourt, nous donne la clef de tout un système de tracés d'arcs pour un édifice entier et permettant, comme dans l'exemple précédent, de faire des épures partielles avec une rigoureuse exactitude et sans avoir besoin d'aires d'une surface considérable [260]. La planche XXXIX de cet album nous montre une clef de tiers-point tracée d'après la méthode précédente, puis une spirale coupée par une ligne droite passant par son oeil. Au-dessous de ce croquis, on lit: «Par chu tailon one clef del quint point» (Par ce moyen taille-t-on une clef de quinte-point). Le texte ne se rapporte qu'au trait de la clef, mais la présence de cette spirale, dessinée là comme un simple souvenir, se rapporte évidemment aux tracés d'arcs engendrés par une division du diamètre en cinq.
Ce croquis est celui reproduit exactement par le trait plein de notre figure 12 [261]. Sur une base AB, divisée en cinq parties égales et donnant six points, du milieu C comme centre on a tracé le demi-cercle AB.--On observera que ce point C sépare la division 3--4 en deux parties égales.--Prenant alors le point 3 comme centre et 3A comme rayon, on a tracé le second demi-cercle A5. Reportant la pointe du compas sur C et prenant C5 comme rayon, on a tracé le troisième demi-cercle 2--5. Reportant la pointe du compas sur 3 et prenant 3--2 comme rayon, on a tracé le quatrième demi-cercle 2--4. Reportant enfin la pointe du compas sur C et prenant C4 comme rayon, on a tracé le cinquième demi-cercle 3--4. Si des deux centres 3 et C, qui ont servi à tracer tous les demi-cercles, nous élevons les deux perpendiculaires 3a, Cb, nous coupons ces demi-cercles en a, en c, en b et en d. En supposant que les arcs ogives d'une grande voûte barlongue de nef soient le plein-cintre dont AB est le diamètre, les arcs doubleaux ayant une base comprenant quatre parties ou la longueur A5, ces arcs doubleaux se composeront d'une branche d'arc Aa et d'une seconde branche d'arc 5a dont le centre sera e point milieu de la partie 2--3. L'arc doubleau sera tracé au moyen de deux arcs de cercle dont le rayon sera CA et dont les centres Ce seront des points diviseurs du diamètre A5 en huit parties égales. Le diamètre de l'arc ogive ayant cinq parties et l'arc doubleau quatre (voir la projection horizontale H), l'arc formeret aura trois parties, car l'arc formeret lm formant un angle droit sur l'arc doubleau ln, si nous donnons à la base de cet arc doubleau 4, à la base de l'arc formeret 3, l'hypothénuse mn, ou base d'un des arcs ogives, aura 5 par la raison que le carré de 4 est 16, le carré de 3, 9, que 16 + 9 = 25 carré de 5. Donc AB étant la base de l'arc ogive d'une voûte dont l'arc doubleau est A5, le formeret aura pour base 3B comprenant trois parties, et nous aurons tracé l'arc ogive de cette voûte, son arc doubleau et son arc formeret avec la même ouverture de compas; les points diviseurs de la base AB nous ayant donné en C le centre des arcs ogives, en Ce les centres de l'arc doubleau, en Cf les centres de l'arc formeret. Par conséquent, les mêmes arcs de cercle servant pour tracer ces trois arcs, tous les panneaux des claveaux de ces arcs pourront être taillés sur une seule épure ou portion d'épure, en supposant que nous appliquions le procédé indiqué en D (11). Si c'est une voûte plus étroite que nous voulions tracer, c'est-à-dire une voûte dont la base des formerets soit la moitié de la base de l'arc doubleau, nous aurons alors en projection horizontale le tracé lpqn (voir le figuré H). Alors l'arc ogive np aura pour diamètre 4 parties 1/2. Cet arc ogive sera donc la courbe brisée dont le diamètre est Af et dont les centres sont les points 3 et C. L'arc doubleau aura pour diamètre comme précédemment A5 et pour points de centre eC, et l'arc formeret aura pour diamètre soit 2--4, soit 3--5, et pour points de centre soit eC, soit ef: dans le premier cas cet arc formeret sera tracé avec une ouverture de compas plus courte que celle qui a servi à tracer l'arc ogive et l'arc doubleau; dans le second, il sera tracé avec la même ouverture de compas. Si nous divisons le tympan sous l'arc formeret en deux baies jumelles, chacune aura une partie de la base AB soit 3--4; et le centre de chacun de ces arcs dont la clef est d sera en 3 et en 4, cet arc sera équilatéral. Si l'arc formeret de la voûte barlongue lnmr, ayant pour base 3B et pour centres C f, nous paraît trop aigu, nous pouvons lui substituer l'arc dont la base est 2--5, dont la clef est b et dont les centres sont 3--4. On comprend donc qu'à l'aide de cette figure, les bases de tous les arcs de la voûte donnant toujours des divisions égales connues ainsi que les rayons de ces arcs, ils peuvent être taillés à l'aide d'une épure partielle prenant très-peu de surface. Et en effet, si nous examinons des églises gothiques bâties pendant le XIIIe siècle, nous reconnaissons que tous les arcs ogives, doubleaux, formerets, que les archivoltes, travées de galeries, etc., sont tracés au moyen de points de centres posés sur des divisions égales en cinq ou dix d'un seul diamètre de cercle. Il ne nous paraît pas nécessaire d'insister davantage sur l'importance de la figure spirale contenue dans l'Album de Villars de Honnecourt, mais il n'est pas hors de propos de faire remarquer que la voûte barlongue lnmr, dont la projection horizontale est tracée en H, dérive du triangle donné par Plutarque comme étant le triangle parfait des Égyptiens, et que l'arc doubleau, dont le diamètre est A5 divisé en quatre, possède une flèche 3a divisée en 2 1/2 moins une très-minime fraction, c'est-à-dire qu'il inscrit un triangle à très-peu près semblable à celui que donne la section verticale de la grande pyramide de Chéops. L'arc dit ogive mérite donc quelque attention: ce n'est pas seulement un motif de solidité qui l'a fait adopter, mais aussi un sentiment des proportions et un accord harmonique entre toutes les courbes des voûtes; c'est une nécessité résultant de la pratique dans le tracé des épures; c'est surtout un besoin de liberté dans la construction de ces voûtes dont on ne saurait trop étudier à fond le principe excellent, puisqu'il permet toutes les combinaisons.
Depuis vingt ans on a fait beaucoup de pastiches de la structure gothique; bien rarement ces imitations satisfont les yeux: c'est qu'en effet ceux qui les élèvent, en admirant fort d'ailleurs nos anciens monuments, ne se sont probablement pas donné la peine d'en rechercher les savants et judicieux éléments. En architecture, le goût, le sentiment sont beaucoup; mais pour les appuyer il faut nécessairement se servir du compas et de la géométrie. On voit qu'au moyen de la formule (12) il n'est qu'un des arcs brisés qui ait ses centres en dehors de ses naissances.
C'est qu'en effet dans ces belles écoles de l'Île-de-France, de la Champagne, du Soissonnais, les architectes, gens de goût, avaient senti que la dernière limite d'aiguïté de l'ogive était l'arc équilatéral; que les centres des branches d'arc placés en dehors des naissances donnaient une brisure dont l'extrême aiguïté était choquante, une proportion désagréable, en ce que les rapports de la base avec la hauteur outrepassaient le triangle équilatéral (voy. PROPORTION). Mais les Normands, les Anglo-Normands étaient moins délicats et cherchaient dans leur structure, avant toute chose, les formules qui supposent des moyens pratiques simples. Aussi, au lieu de tenter, comme dans la figure 12, de trouver des arcs brisés de diamètres différents ayant tous des angles égaux au sommet ou du moins peu dissemblables, des rapports analogues entre les diamètres et les flèches, ces gens pratiques du Nord, bons constructeurs dès le commencement du XIIe siècle, se préoccupent médiocrement des rapports proportionnels, du choix des formes: ils veulent une méthode expéditive. Nous avons vu comme Villars de Honnecourt donne les moyens de tracer un plein-ceintre et plusieurs arcs brisés «avec la même ouverture de compas.» Or, les voûtes normandes élevées vers 1220 présentent souvent une disposition telle que tous les arcs, arcs ogives, arcs doubleaux, formerets, archivoltes, sont tracés à l'aide d'un même rayon.
Ainsi (13), soit la projection horizontale d'une de ces voûtes, l'arc générateur est l'arc ogive qui est un plein-cintre rabattu en ABC. L'arc doubleau AC rabattu en ACS est tracé au moyen du rayon ab égal au rayon OC. L'arc doubleau de recoupement des arcs ogives DE rabattu en DEF est tracé de même, au moyen du rayon ef égal au rayon OC, sa clef F étant naturellement au niveau C de la clef des arcs ogives. Soit iK, lm, l'épaisseur des piles, les arcs formerets étant compris entre Kl. Ces arcs formerets rabattus en Klp sont encore tracés au moyen du rayon rt égal au rayon OC, leur naissance étant relevée de K en V si l'on veut que les clefs des formerets atteignent le niveau des clefs des arcs ogives. Si ces formerets servent d'archivoltes aux baies divisées par un meneau, ce sera encore le rayon nq égal au rayon OC qui servira à tracer les arcs diviseurs de la fenêtre.
Sauf pour les clefs, l'épure d'un seul claveau d'arc suffisait alors pour tailler les panneaux de tous les arcs des voûtes, archivoltes, baies, etc. Et (voir le tracé G), si nous divisons un diamètre d'arc ogive en quatre ou en dix, avec la même ouverture de compas, nous pourrons avoir une suite d'arcs dont les diamètres seront au diamètre du plein-ceintre, qui est le plus grand arc de la voûte ou l'arc ogive, comme trois, deux, un sont à quatre, ou comme neuf, huit, sept, six, etc., sont à dix. Ayant donc des claveaux tous taillés sur un même arc, et une base ou fraction de base, nous pouvons, sans épure, monter tous les arcs d'un édifice. On comprend alors le motif qui avait fait adopter l'arc brisé que l'on appelle lancette: c'était une économie de tracé, on évitait toute complication d'épures et de panneaux, il ne s'agissait plus que de donner la section de chacun de ces arcs suivant leur fonction. Tous taillés d'ailleurs sur une même courbure (à l'extra-dos), ils prenaient leur place suivant la désignation donnée. S'il fallait des épures, c'était seulement pour les cintres en charpente, et encore ces arcs étant tous tracés à l'aide d'un même rayon, l'épure du demi-cercle ou de l'arc ogive permettait de mettre sur ligne tous les autres cintres, puisqu'il suffisait de savoir quel était le rapport existant entre les diamètres de ces arcs et celui du demi-cercle pour avoir le tracé complet de chacun d'eux, ainsi que le fait voir la figure 13 en G [262].
De ce qui précède on peut conclure: lº que l'arc brisé, appelé ogive, a été d'abord une importation d'Orient; 2º qu'adopté en Orient comme une courbure donnée par un principe de proportion expliqué ailleurs [263], cet arc brisé a été en France le point de départ de tout un système de construction parfaitement logique, et permettant une grande liberté dans l'application; 3º que par conséquent l'arc brisé, comme forme, appartient probablement à l'école d'Alexandrie et aux Nestoriens, qui paraissent les premiers l'avoir adopté; mais que, comme principe d'un nouveau système de voûtes, il appartient sans aucun doute à nos provinces du nord de la Loire, puisqu'en 1140, dans l'église abbatiale de Saint-Denis, les constructions élevées par Suger ne laissent apparaître les plein-cintres que pour les arcs ogives, et qu'elles ont appliqué déjà le système de voûtes que nous voyons se développer dans la cathédrale de Paris vingt ans plus tard. Or, nulle part, ni en Europe, ni en Orient, au milieu du XIIe siècle, on ne construisait de voûtes ayant quelques points de rapports, comme emploi de l'arc brisé, avec celles de l'église de Saint-Denis et de la cathédrale de Paris. Si donc l'arc brisé a pris naissance hors de France comme forme d'arc, nous sommes les premiers qui ayons su l'appliquer à l'une des plus fertiles inventions dans l'histoire de la construction. Si donc l'arc brisé a pris naissance hors de France, nous sommes les premiers qui ayons su tirer de cette forme, issue d'un sentiment des proportions [264], des conséquences d'une valeur considérable, puisqu'elles ont produit la seule architecture originale qui ait paru dans le monde depuis l'antiquité.