Joignant l'exemple à la théorie, M. Laisant montre comment on peut, avec la règle, le compas, quelques morceaux de carton et du papier quadrillé, apprendre expérimentalement à un enfant une partie de l'algèbre, y compris les quantités négatives et une foule de connaissances géométriques, telles que l'équivalence du parallélogramme et du rectangle de même base et de même hauteur, l'aire du triangle, le carré de l'hypoténuse, etc. J'ajouterai qu'avec un ruban gradué et un cylindre, on peut lui faire trouver tout seul le rapport du diamètre à la circonférence et bien d'autres choses encore.
M. Duclaux, membre de l'Académie des sciences, a traité le même sujet dans un mémoire sur l'enseignement des mathématiques[204] et arrive à des conclusions analogues.
[204] Revue Scientifique, 1899, p. 353.
Ce savant pense, comme M. Laisant et nous-même, que c'est dès la plus tendre enfance, c'est-à-dire à l'âge où se créent certaines habitudes d'esprit, qu'il faut commencer l'étude des mathématiques, de la géométrie notamment. Il s'est rencontré avec le célèbre philosophe Schopenhauer, sur les dangers pédagogiques de la géométrie d'Euclide, livre que 2.000 ans de vénération respectueuse ont auréolé d'une autorité presque divine dans l'enseignement, et qui n'a guère réussi qu'à infuser chez des milliers d'êtres l'horreur intense de la géométrie. Voici comment s'exprime Schopenhauer:
Nous sommes certainement forcés de reconnaître, en vertu du principe de contradiction, que ce qu'Euclide démontre est bien tel qu'il le démontre; mais nous n'apprenons pas pourquoi il en est ainsi. Aussi éprouve-t-on presque le même sentiment de malaise qu'on éprouve après avoir assisté à des tours d'escamotage, auxquels, en effet, la plupart des démonstrations d'Euclide ressemblent étonnamment. Presque toujours, chez lui, la vérité s'introduit par la petite porte dérobée, car elle résulte, par accident, de quelque circonstance accessoire; dans certains cas la preuve par l'absurde ferme successivement toutes les portes, et n'en laisse ouverte qu'une seule, par laquelle nous sommes contraints de passer, pour ce seul motif. Dans d'autres, comme dans le théorème de Pythagore, on tire des lignes, on ne sait pas pour quelle raison; on s'aperçoit, plus tard, que c'étaient des nœuds coulants qui se serrent à l'improviste, pour surprendre le consentement du curieux qui cherchait à s'instruire; celui-ci, tout saisi, est obligé d'admettre une chose dont la contexture intime lui est encore parfaitement incomprise, et cela à tel point qu'il pourra étudier l'Euclide entier sans avoir une compréhension effective des relations de l'espace; à leur place, il aura seulement appris par cœur quelques-uns de leurs résultats... A nos yeux, la méthode d'Euclide n'est qu'une brillante absurdité[205].
[205] Le monde comme volonté et comme représentation, t. I, p. 76.
M. Duclaux qualifie très justement l'ouvrage d'Euclide de livre «terriblement ennuyeux, méticuleux, pédant et qui subtilise sur tout». Il montre l'absurdité de vouloir démontrer des vérités qu'on saisit par intuition, telles par exemple celle-ci: un côté quelconque d'un triangle est plus petit que la somme des deux autres—proposition connue du plus humble caniche, qui sait fort bien que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre. Pourquoi vouloir démontrer à l'enfant que deux circonférences de même rayon sont égales? L'élève s'apercevra parfaitement tout seul que si après avoir tracé une circonférence avec son compas ouvert, il en fait une seconde sans changer l'écartement du compas, il tracera la même courbe que la première fois. «Rien n'est plus pitoyable, conclut M. Duclaux, que l'enseignement de la géométrie. Voici plus de trente ans que je fais passer des examens du baccalauréat et que je constate cette décadence. Je ne crois pas qu'il y ait en ce moment plus d'un élève sur vingt qui ait le sentiment net de la méthode euclidienne. C'est bien la peine de l'avoir suivie, et vraiment je crois que l'enseignement secondaire ferait bien d'y renoncer.»
Peu d'auteurs ont tenté de présenter les mathématiques sous forme concrète, ou du moins de n'arriver à l'abstrait qu'après être passé par le concret[206]. Il faudrait, il est vrai, avoir presque du génie pour réussir à écrire un livre qui conduirait l'élève par des méthodes expérimentales de l'enseignement primaire jusqu'au calcul infinitésimal. Un tel ouvrage n'ayant aucune chance d'être adopté dans les écoles ne sera certainement jamais écrit.
[206] Je ne vois que quatre auteurs à citer. Macé pour l'arithmétique, Clairaut pour la géométrie, Lagout, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, pour l'algèbre et la géométrie, et Laisant pour l'enseignement général des mathématiques.
Pour qu'il puisse l'être, les pédagogues devraient d'abord essayer de se faire une idée de la psychologie de l'enfant, qu'ils ne soupçonnent guère, à en juger par leurs méthodes d'enseignement. Seulement alors ils pourraient comprendre l'absurdité de commencer l'enseignement de toutes choses, langues, mathématiques, etc., par l'apprentissage mnémonique de règles et de symboles abstraits, alors que l'intelligence de l'enfant—et sur ce point beaucoup d'hommes restent longtemps enfants—ne peut saisir que le concret.