Les anciens comme les modernes ont traité avec une railleuse pitié l'opinion de Pythagore sur les vertus mystérieuses de certains nombres. Des commentateurs plus sages pensent que, ce philosophe et ses premiers disciples n'ayant rien écrit, on a pris dans un sens trop littéral un langage allégorique dont le sens était perdu.
Quoi qu'il en soit, les mathématiciens grecs se trouvaient humiliés de ne pouvoir retrouver, à l'aide de son abaque, le casier arithmétique qu'il avait imaginé, et faisaient, pour le reconstruire, des efforts que l'histoire nous montre toujours incessants, mais toujours stériles aussi.
C'est en se livrant à ce travail de réinvention que Nicomaque arriva à trouver une étonnante propriété des nombres qu'il ne cherchait pas: nous voulons parler des progressions arithmétiques.
Ce Nicomaque vivait 250 ans avant notre ère. En cherchant à combiner des nombres sur des tablettes, de manière à pouvoir abréger mécaniquement les opérations de l'arithmétique, il trouva le nombre polygone. (On appelle ainsi la somme d'une progression arithmétique qui commence par 1, et dont les unités peuvent être rangées en figures géométriques.) Il ne (Page ) connut pas les avantages de sa découverte, qui fut prise pour une remarque stérile.
Un siècle après, Archimède vint. Les nombres furent sa première étude; ses tentatives pour simplifier l'arithmétique, pour en faire un art mécanique, furent les travaux qui lui révélèrent la nature de son génie. C'est en cherchant à construire une machine devant atteindre le même but que celles dont Pythagore et Nicomaque avaient eu l'idée, qu'il se sentit entraîné vers l'étude des sciences mécaniques, qu'il devait enrichir de découvertes si magnifiques.
Les tablettes sur lesquelles Nicomaque avait déposé le principe dont il n'avait pas su apprécier la valeur féconde, furent pour Archimède un trait de lumière. Le calcul polygonal lui révéla l'art de la progression des nombres, et cette découverte le consola de n'avoir pas réussi dans sa recherche d'une machine arithmétique.
L'enthousiasme avec lequel il parla à ses amis de la magnifique loi qu'il venait de trouver ne fit sur eux qu'une faible impression; ils lui dirent qu'ils ne croyaient pas à l'existence d'une méthode arithmétique qui permît d'exprimer en nombres une quantité composée d'une infinité de parties. L'un d'eux crut même le mettre dans un grand embarras en lui demandant s'il évaluerait le nombre des grains de sable qui sont au bord de la mer. Archimède lui répondit que non-seulement il exprimerait le nombre des grains (Page ) de sable qui sont au bord de la mer, mais encore celui des grains dont on pourrait remplir tout l'espace compris entre la terre et les étoiles fixes; et il prouva ce qu'il avançait, en faisant voir que le cinquantième terme d'une progression décuple croissante satisfaisait à son engagement.
Il fit plus: afin de ne laisser sur ce sujet aucune ressource à l'imagination la plus féconde, il imagina un corpuscule dix mille fois plus petit qu'un grain de sable; il l'appela grain de pavot, et en forma sa première mesure. Le grain de pavot pris cinq fois fit un grain d'orge, ou sa seconde mesure, et avec ces mesures, le grand homme établit une suite de nombres qui se perdent dans l'infini.