Huyghens et Newton, en signalant cet effet nécessaire de la force centrifuge, avaient tenté d’en calculer la grandeur. La méthode d’Huyghens repose sur une supposition qui ne peut plus aujourd’hui compter de partisans, et celle de Newton mêle à ses principes solides et inébranlables une hypothèse trop douteuse pour qu’on puisse taxer d’inexactitude nécessaire les opérations qui viendraient la démentir et la désavouer. La question de droit était donc incertaine aussi bien que celle de fait, et l’Académie partagée agitait l’opinion publique sans la diriger.
Les degrés du méridien augmentent-ils ou diminuent-ils de l’équateur au pôle? La seule méthode infaillible pour le décider était de prendre des mesures précises et rapprochées des points extrêmes. Avant de proposer dans ce but des expéditions lointaines et coûteuses, l’Académie écouta sur la question un grand nombre de mémoires qui, sans avancer beaucoup la solution, réussirent au moins à stimuler la curiosité des ministres et du roi et à les faire consentir avec empressement aux dépenses considérables qui leur furent demandées ensuite. Deux commissions furent envoyées, l’une en Laponie, l’autre au Pérou, pour mesurer les degrés dont la comparaison devait tout décider. Maupertuis, Clairaut, Lemonnier et l’abbé Outhier partirent pour le nord. La Condamine, Bouguer et Godin, accompagnés de Joseph de Jussieu et de Couplet, neveu du trésorier de l’Académie, s’étaient embarqués six mois avant pour le Pérou.
L’expédition du nord fut heureuse. Tous les missionnaires revinrent après avoir terminé rapidement leur travail dont les résultats incontestés tranchèrent la question. Aucune rivalité ne troubla leurs relations. Maupertuis, le plus ancien des trois académiciens et chef reconnu de l’expédition, s’attribua le mérite et recueillit l’honneur du succès; les autres le laissèrent faire sans que l’amitié cimentée par les fatigues et par les travaux communs en parût un instant altérée.
L’expédition de l’équateur traversée par de plus grands obstacles devint funeste au contraire à plusieurs de ceux qui y prirent part. Bien peu d’entre eux devaient revoir la France. Couplet en arrivant à Quito fut emporté par une fièvre maligne; Seniergues, chirurgien de l’expédition, à la suite de querelles étrangères à la science fut assassiné au milieu d’une fête par la populace de Cuença. L’astronome Godin accepta à Lima une chaire de mathématiques que, suivant le vice-roi, il n’avait pas le droit de refuser. En promettant sur son passeport de rendre au gouvernement espagnol tous les services qui seraient en son pouvoir, ne s’était-il pas engagé à instruire en cas de besoin les étudiants de Lima? Un des aides-dessinateurs, nommé Moranval, resta au Pérou pour y exercer la profession d’architecte et tombant d’un échafaudage mourut des suites de sa chute. L’horloger Hugot et Godin des Odonais partis pour étudier les langues d’Amérique, se marièrent à Rio-Bomba et restèrent au Pérou, ainsi que Joseph de Jussieu qui y exerça la profession de médecin.
Godin quitta le Pérou trente-huit ans après seulement pour terminer pauvrement sa carrière dans une petite ville de Normandie. De Jussieu infirme et privé de mémoire fut renvoyé à peu près à la même époque. Ses deux frères l’entourèrent des soins les plus affectueux, mais ils n’osèrent jamais le conduire à l’Académie qui l’avait élu pendant son absence; c’est le seul académicien qui n’ait jamais siégé.
Bouguer et La Condamine rapportèrent donc seuls en France les résultats de l’expédition qui, retardée par des difficultés de tout genre, ne dura pas moins de sept années. Bouguer revint en 1742. La Condamine, qui fit de son retour un voyage d’exploration à travers l’Amérique du Sud, ne reparut à l’Académie qu’une année plus tard. Bouguer, dès son arrivée, s’était empressé de confirmer par le témoignage de ses résultats les conclusions déjà anciennes et presque décisives de Maupertuis et de Clairaut. Cassini, après avoir avec l’aide de Lacaille revu les mesures prises en France et trouvé la cause de leur désaccord, s’était rendu lui-même à la vérité désormais bien constante, en sorte que La Condamine arrivant le dernier trouva la curiosité du public épuisée et peut-être lassée sur cette question, naguère encore si ardemment débattue. Les discussions et les chicanes par lesquelles Bouguer et lui agitèrent si longtemps l’Académie naquirent peut-être de la mauvaise humeur qu’il en conçut.
Bouguer était sans contredit le plus instruit des trois académiciens envoyés au Pérou. Sa connaissance profonde des mathématiques et son habileté depuis longtemps acquise à manier les instruments en avaient fait le chef véritable et l’âme de tous les travaux. Inférieur à Bouguer par la science, La Condamine, esprit prompt et aisé, hardi à tout entreprendre, plein d’intelligence, de curiosité et d’ardeur mais incapable d’une forte application, ne devait se préparer que lentement à la discussion approfondie des méthodes employées. Consultant souvent son savant confrère il s’adressait à lui, disait-il, dans le commencement surtout, comme on ouvrirait un livre qu’on a sous la main ou comme on demande l’heure au compagnon dont la montre est bien réglée; mais les services qu’il reçut ainsi sont de ceux que deux collaborateurs doivent se rendre sans les compter et sans en prendre avantage. Plus habitué d’ailleurs que ses confrères aux relations du monde, La Condamine fut dans les circonstances difficiles le négociateur de l’expédition et son représentant auprès de l’administration espagnole. Insinuant et ferme tour à tour il sut, par énergie ou par adresse, écarter les difficultés de toutes sortes qui lui furent suscitées; possesseur enfin d’une fortune considérable, il mettait sans hésiter sa bourse et son crédit au service de l’entreprise, pour laquelle plus de cent mille livres furent prélevées sur son patrimoine.
Dévoués tous deux à la science et d’un caractère également honorable, La Condamine et Bouguer étaient dignes de se rendre mutuellement justice en revenant à jamais unis comme Maupertuis et Clairaut par la longue communauté de leurs travaux, de leurs fatigues et de leurs inquiétudes. Il n’en fut rien pourtant. De longues discussions, qui dégénérèrent en hostilités déclarées, avaient troublé leur trop longue collaboration et rompu leur société, en ne leur laissant l’un pour l’autre que jalousie, défiance et implacable ressentiment. Bouguer, dès son retour, avait loyalement fait connaître les résultats sans se les approprier et sans s’attribuer une part exagérée du travail commun. La Condamine cependant commença à se plaindre avant même d’avoir vu les communications encore inédites de son confrère. Avec la curiosité impatiente et l’humeur dominatrice qui formaient le trait saillant de son caractère il réclamait la communication de ces pièces, et sans s’adresser à Bouguer avec lequel depuis longtemps il n’avait plus de relations directes, les revendiquait comme un droit près de l’Académie. Les procès-verbaux des séances sont remplis pendant plusieurs années par les plaintes, les chicanes et les protestations solennelles de La Condamine, suivies souvent de répliques non moins fortes dans lesquelles Bouguer ne reste en arrière ni de récriminations, ni d’insinuations blessantes. Sans vouloir les suivre sur ce terrain qui n’est pas celui de la science, ni remonter à la source de leurs mutuels griefs pour en faire le discernement et en raconter l’interminable suite, il suffira de citer les lignes suivantes extraites du procès-verbal du 11 juillet 1750, où La Condamine découvre assez visiblement, si je sais le comprendre, le vrai motif de son mécontentement et de l’aigreur de ses reproches:
«M. Bouguer, en publiant son ouvrage avant le mien et sans vouloir me communiquer ce qu’il avait lu en pleine Académie en mon absence, s’est mis en pleine possession de ce qu’il a dit le premier sur notre travail commun. J’ai déjà reconnu que rien ne peut m’appartenir évidemment que ce qu’il m’a peut-être laissé à dire, en sorte que, s’il n’a rien oublié, il m’est comme impossible de rien dire de nouveau.» Mais La Condamine voulait absolument parler. Après tant de fatigues supportées, de dangers affrontés et d’obstacles péniblement surmontés, il n’entendait céder à personne le droit de les raconter au public. Il prit alors le parti singulier de ne pas lire l’ouvrage dont il avait avec tant d’insistance demandé la communication:
«Je sais, dit-il, que le traité de M. Bouguer ayant paru depuis longtemps, j’ai été le maître de le lire et que je ne puis donner la preuve que je ne l’ai pas lu, mais j’ai la satisfaction de penser que ceux qui me connaissent m’en croiront sur ma parole.»