Convenons de représenter à l'aide du symbole
(1) ai + bj + c = a'i + b'j + c'
la triple égalité
a = a', b = b', c = c',
sans attacher aux lettres i, j d'autre sens que celui de séparation. Les signes i, j, qui pourraient être en plus grand nombre, ont reçu de Cauchy le nom de clefs. Les formules telles que (1) portent le nom d'égalités symboliques, et l'on dit, pour abréger le langage, que a et a' sont les coefficients de i et que b et b' sont les coefficients de j. L'ensemble des quantités qui forment le premier membre de la formule (1) s'appelle une quantité imaginaire.
Ainsi, pour nous, une quantité imaginaire se compose de l'ensemble de plusieurs nombres qui, dans un calcul ultérieur, doivent être respectivement égalés à des nombres donnés.
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Les clefs tendent à s'introduire tous les jours davantage dans l'analyse; leur emploi donne beaucoup d'élégance et de simplicité au calcul.
De toutes les clefs, celle qui a été le mieux étudiée, celle qui est le plus anciennement connue, est celle que l'on est convenu de représenter par le symbole V-1.