On a ainsi la géométrie du compas et la géométrie de la règle.
Inscrire dans un cercle un polygone régulier de dix-sept côtés.
Gauss, dans ses Disquisitiones arithmeticæ, démontre qu'on peut construire, avec la règle et le compas, le côté de tout polygone régulier inscrit dont le nombre des côtés est premier de la forme 2m + 1.
Il y a de curieuses relations entre les équations binomes et l'inscription des polygones réguliers.
Le triangle de Pythagore a pour côtés les nombres consécutifs 3, 4 et 5 et, en multipliant ces nombres par un nombre entier quelconque, on obtient une infinité de triangles rectangles, à côtés entiers.
Ce triangle simple permet d'élever, à l'aide de trois cordeaux, la perpendiculaire en un point d'une droite.
On déduit du triangle de Pythagore un autre triangle rectangle à côtés entiers, qui ne lui est pas semblable, en prenant pour côtés de l'angle droit la différence des carrés des deux côtés primitifs et le double produit de ces mêmes côtés. On trouve 7, 24 et 25.