I.
Donnez un liard et faites rendre un centime à chacune des vingt personnes. Vous aurez distribué vingt liards ou cinq sous, et vous recevrez vingt centimes ou quatre sous. En définitive, vous n'aurez dépensé qu'un sou, qui se trouvera partagé en vingt parties égales.
II.
La figure précédente indique la solution, lorsque l'on veut partir d'une case située à l'un des quatre angles. Les numéros des 64 cases de cette figure indiquent;'ordre dans lequel elles doivent être successivement parcourues partir de la case 1. Ainsi le Cavalier, posé d'abord sur la case à l'angle 1, sautera sur la case 2, puis sur la case 3, et ainsi de suite jusqu'à la case 64, où se termine sa course. Il est facile de voir que la marche pourrait être suivie en partant de la case 64, parcourant successivement 63, 62, etc., jusqu'à la case 1. Cette solution en comprend donc implicitement 12, puisqu'elle s'étend à trois cases prises pour point de départ sur chacun des quatre angles de l'échiquier.
Voici un moyen aussi simple qu'amusant de trouver, à volonté des solutions du problème: prenez 64 petits carrés de carton que vous partagerez en deux cases, dans chacune desquelles sera inscrit l'un des huit nombres compris entre 1 et 8. Cherchez à disposer ces 64 carrés les uns à coté des autres, ou en plusieurs bandes les unes au-dessous des autres, de telle sorte que dans deux carrés successifs la différence des nombres supérieurs soit égale à 1 ou à 2, celle des nombres inférieurs étant 2 ou 1. Vous formerez une suite du genre celle que nous donnons ci-après écrite en quatre bandes parallèles; et, pour faciliter les comparaisons, nous avons répété en tête de chacune des trois dernières bandes le carré qui termine la précédente. On voit facilement que tous les nombres de cette suite satisfont à la condition énoncée. Ainsi dans les deux premiers carrés, la différence entre les nombres supérieurs 8 et 7 est 1; la différence entre les nombres inférieurs 1 et 3 est 2; les différences entre 3 et 1, puis 7 et 8 du sixième et septième carré, sont respectivement 2 et 1. De même pour les autres.
8 7 8 7 5 3 1 2 1 2 4 6 8 7 8 6
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1 3 5 7 8 7 8 6 4 2 1 2 3 5 7 8
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6 4 2 1 2 1 3 5 7 6 8 7 8 6 4 2 1
- - - - - - - - - - - - - - - - -
8 7 8 6 4 2 1 2 1 3 4 6 8 7 8 7 5
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1 2 1 3 5 7 5 6 8 7 8 7 5 3 1 2 1
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5 3 1 2 1 1 3 1 2 4 6 8 7 8 7 6 3
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1 2 4 3 4 6 4 3 5 4 3 5 5 4 3 5 6
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3 1 2 4 6 5 4 6 5 3 5 6 4 5 3 4 6
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Cela posé, convenons que le nombre supérieur désigne le numéro d'une case de l'échiquier compté de gauche à droite, et que le nombre inférieur désigne le rang de la bande où est cette case, de haut en bas. 8/1 représentera la huitième case à droite sur la première bande d'en haut; 7/3 sur la septième case à droite de la troisième bande comptée de haut en bas, et ainsi de suite. Alors il ne reste plus qu'à faire suivre au cavalier, sur l'échiquier, la marche indiquée par la suite de nos petits carrés de carton.
La figure ci-après est l'expression de la solution donnée par la suite précédente.
