DEUXIÈME SOLUTION DE VANDERMONDE.
I. Soit ABC le triangle dont le charpentier peut disposer Il divisera les deux cotés AB CB en deux parties égales aux points F et G; FG sera un des côtés du rectangle demandé FGIH, qu'il est facile d'achever. La superficie de ce rectangle est précisément égale à la moitié de celle du triangle.
On voit facilement, d'après la première figure, que lorsque les trois angles du triangle sont aigus, il y a trois solutions! Les trois rectangles FGIH, FKNP, KGML, sont équivalents en surface, quoique de dimensions inégales.
La seconde figure montre que lorsqu'un des angles A du triangle est droit, il n'y a plus que deux solutions fournies par les rectangles FGIA, FINP.
Enfin, si l'un des anges A devenait obtus, il n'y aurait plus qu'une seule solution, FINP.
II. On sait que le carré d'un nombre n'est autre chose que le produit de ce nombre par lui-même: 1, 4, 9, 16, 25, etc., sont donc respectivement les carrés des nombres 1, 2, 3, 4, 5, etc.
On voit donc que 3 et 4 sont les plus petits nombres qui satisfassent à la question; car leurs carrés sont 9 et 16, dont la somme 25 est précisément égale au carré de 5; 5 et 12 donnent aussi une solution du problème, car 25, carré de 5, ajouté à 144, carré de 12, donne 169, carré de 13.
Mais comment trouver à volonté des nombres entiers qui satisfassent à la question? Voici le procédé employé dès l'antiquité dans l'école de Pythagore. On prendra dans la suite des nombres impairs:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, etc.,