I. Sur la surface de votre bille décrivez, avec un compas muni d'un crayon, un arc de cercle d'une grandeur quelconque, que vous pourrez effacer ensuite facilement, de sorte que la bille ne sera pas endommagée. Cet arc de cercle ABC est représenté sur la figure 1. A E est l'ouverture de compas employée, et est le pôle que l'on a pris à la surface de la sphère pour y faire ce tracé. Marquez ensuite trois points quelconques, A, B, C, sur la circonférence ainsi décrite. Construirez à part (figure 2) un triangle A, B, C, dont les sommets soient précisément à des distances mutuelles respectivement égales à celles des trois points A, B, C. Partagez deux des angles C'A'B' A'B'C' en deux parties égales par deux droites A' D', B' D', qui se couperont en un certain point D'. Ce point sera le centre d'un cercle circonscrit un triangle, c'est-à-dire que la circonférence passera par les trois sommets de ce triangle. Menez F' D' E' perpendiculaire à A' D', et prenez le point E' par la condition que la distance A' E' soit égale à l'ouverture de compas A E que vous avez employée pour le tracé de votre cercle sur la bille. Enfin, achevez l'équerre E' A' F' de manière que l'angle E' A' F' soit droit. E' F' sera le diamètre demande de la sphère. Le rayon sera la moitié de ce diamètre.
Pour faciliter à nos lecteurs l'intelligence des motifs de cette construction, nous l'avons indiquée sur la figure 1 comme si elle était exécutée dans l'intérieur de la sphère, et nous avons désigné, dans les deux ligures, les mêmes points par les mêmes lettres, en ajoutant seulement des accents à celles de la seconde.
Rien n'est plus facile d'ailleurs que de construire le triangle A' B' C', dont on connaît les trois côtés A' B', B' C', A' C', respectivement égaux à A B, B C, A C. Il faut prendre A' B'. égal à A B: puis les extrémités A' et B' comme centres, avec des rayons égaux à A C et à B C, décrire des arcs de cercle qui se coupent au point C, et déterminent ainsi le troisième sommet du triangle.
II. Les nombres les plus simples qui satisfassent à la question sont 11 pièces de 5 francs et 4 demi-ducats; car 11 pièces de 5 francs font 55 francs et les 4 demi-ducats font 24 francs; le Français paie donc au Hollandais 51 francs de plus qu'il ne reçoit.
On trouvera une infinité d'autres solutions en augmentant le nombre des pièces de 5 francs d'un multiple quelconque de 6 et celui îles demi-ducats du même multiple de 5. Les couples de valeurs que voici donneront donc des solutions.
17 pièces de 5 francs et 9 demi-ducats.
23 » et 14 »
29 » et 19 »
Et ainsi de suite
NOUVELLES QUESTIONS A RESOUDRE.
I. On demande de déterminer le diamètre d'une bille d'ivoire sans l'endommager, et même sans employer de compas, comme nous l'avons fait dans la solution donnée aujourd'hui.
II. Deviner le nombre que quelqu'un aura pensé.