SOLUTION DES QUESTIONS PROPOSÉES DANS LE QUARANTE-DEUXIÈME NUMÉRO.
I. On trouvera le nombre demandé en imaginant que les quatre as sont mis à part, et que les 28 cartes restantes sont distribuées de toutes les manières possibles en quatre groupes ou paquets: le premier du 8 cartes pour le joueur en premier, le second de 12 cartes pour le joueur qui donne, les deux autres de 5 et de 3 cartes pour le talon. Le nombre cherché a donc pour expression une fraction ainsi composée:
Le numérateur est le produit de tous les nombres entiers consécutifs depuis 1 jusqu'à 28. Le dénominateur est le produit de tous les nombres entiers consécutifs depuis 1 jusqu'à 8, par ceux de 1 à 12, par ceux de 1 à 5, par ceux de 1 à 3.
Tout calcul fait, on trouve 24 925 367 263 600.
Le rapport de ce nombre à celui qui a été trouvé pour le premier problème du dernier numéro est égal à 0,0137635; d'où l'on voit combien le nombre des combinaisons est diminué par la restriction apportée dans l'énoncé relativement au groupement des as.
II. Le jeu du franc-carreau a été indiqué par Billion dans son Essai d'arithmétique morale. Voici en quoi il consiste:
Sur un sol pavé de carreaux hexagones, réguliers et égaux, comme sont ordinairement les carrelages de nos habitations, on projette au hasard une pièce de monnaie, et un joueur parie pour franc-carreau, c'est-à-dire pour que la pièce, après sa chute, repose tout entière sur un seul carreau. L'adversaire parie qu'elle tombera sur un joint.
Pour déterminer les chances de chacun des joueurs, imaginons que dans l'intérieur de chacun des carreaux nous ayons mené aux six côtés autant de parallèles à une distance égale au demi-diamètre de la pièce de monnaie. Nous aurons formé ainsi un second hexagone régulier intérieur au premier.
Or, il est clair que le premier joueur gagnera lorsque le centre de la pièce de monnaie tombera dans l'intérieur du plus petit hexagone; qu'il perdra, au contraire, lorsque ce centre tombera entre les contours des deux polygones. D'ailleurs, comme tous les compartiments du carrelage ont été supposés égaux entre eux, il a suffi d'en considérer un seul. On voit donc que la probabilité du gain du premier joueur est égale au rapport de l'aire du petit hexagone à celle du grand.