Il metodo cartesiano, dunque, è un processo di analisi e di sintesi, di decomposizione e di ricomposizione, di intuizione (==osservazione) e di ragionamento. Ma siccome il ragionamento dipende dalla intuizione, a questa, ossia alla visione immediata della verità, che coglie in piena evidenza ogni singola nozione, si riducono in ultima istanza tutte le fonti della scienza.
Le opere scientifiche di Cartesio — la sua Diottrica e la sua Geometria (cfr. § 27) sono saggi pratici di questo metodo.
27. Matematica. — Il Seicento e il Settecento sono i secoli aurei delle matematiche moderne e come tali possono venir paragonati all’età di Euclide, Archimede, Apollonio nello sviluppo del pensiero greco.
Alla fine del sec. XVI, i principii fondamentali e i contorni dell’aritmetica, dell’algebra, della teoria delle equazioni erano stabiliti e disegnati. Tuttavia, per mancanza di buoni libri di testo, relativi a queste discipline, la loro cognizione era limitata ai dotti e, persino, la moderna notazione algebrica e trigonometrica non era familiare ai più, nè universalmente adottata.
Ma nei secc. XVII-XVIII si erige l’intera costruzione della matematica contemporanea: la trigonometria e la geometria vengono fecondate profondamente dall’algebra; l’algebra, dalla geometria, donde nasce la geometria analitica.[71] In contrapposto a quest’ultima, viene sistematizzata la geometria così detta descrittiva, che ha per iscopo di fissare i metodi per rappresentare i corpi a 3 dimensioni su un piano a 2 dimensioni. In questa età ha origine l’analisi infinitesimale moderna, di cui è dubbio se alcuna traccia sia possibile ritrovare presso i Greci del periodo alessandrino. L’algebra fissa definitivamente quei segni e quei simboli, che noi oggi usiamo, rompendo per sempre con l’uso della indicazione, sia pur abbreviata, di quei concetti, ch’essa voleva esprimere, e acquistando così una incredibile rapidità di movimenti. Ora si tenta giungere al di là delle equazioni di 4º grado, affrontando così dei problemi, cui giammai l’algebra, indiana o araba, erano giunte. Finalmente, con la redazione delle tavole logaritmiche, si acquista una brevità infinitamente maggiore nei calcoli.
Consideriamo partitamente ciascuno di questi dominii della nuova matematica. Il valore — immenso — dei suoi risultati è dovuto a tutta una pleiade di matematici sommi. L’opera del Vieta nel campo della trigonometria, piana e sferica, è ora continuata dai tedeschi Gauss ed Euler[72] (1707-83), dal russo Lexell, dai francesi Lhuillier e Delambre.
I progressi della stereometria, ossia di quel ramo della geometria, che studia le figure nello spazio, sono, nel sec. XVII, accresciuti e intensificati dall’astronomo Keplero (1571-1630) e dall’italiano Bonaventura Cavalieri (1591-1647), grazie all’applicazione del calcolo infinitesimale, e proseguiti, con lo stesso mezzo, in sullo scorcio di questo secolo e nel successivo, dal grande astronomo e matematico inglese Newton (1643-1727) e dal sommo filosofo e matematico tedesco, Leibniz (1646-1716).
Ma l’età moderna assiste, come dicevamo, al trionfo della geometria analitica, il più squisito strumento della matematica moderna. La legittimità della applicazione dell’algebra alla geometria e, reciprocamente, della geometria all’algebra, che ne costituisce l’essenza, è così spiegata dal filosofo e matematico francese Cartesio. Le figure geometriche risultano di grandezze e di forme. Le prime si risolvono in numeri; ma questo è possibile anche delle seconde. La forma di ogni figura, infatti, risulta dalla posizione dei punti di cui si compone, e questa può essere determinata con delle grandezze. La posizione, infatti, di un punto nello spazio a tre dimensioni dipende da tre quantità, p. es., dalle distanze di questo punto da tre piani fissi formanti un angolo triedro: queste tre quantità sono le tre coordinate del punto. Ecco, dunque, la forma, attraverso la posizione, ricondotta alla grandezza; ed eccoci autorizzati a portare l’algebra, ossia il calcolo in tutti i campi della geometria. Ma l’algebra (continuava Descartes) tratta dei rapporti e delle proporzioni in generale. Or bene, è d’uopo rendere evidenti i suoi processi più complicati, far apparire le sue conclusioni in forma concreta. E il mezzo migliore, per raggiungere tale scopo, è usare quei segni, che più vivamente colpiscono la nostra immaginazione, ossia le figure geometriche. Perciò appunto è lecito e utile giungere persino alla risoluzione grafica delle equazioni.
Se il Descartes è, sopratutto, il filosofo della geometria analitica, il massimo studioso ne fu il suo contemporaneo, Pietro Fermat (1602-65). Ma il primo manuale di geometria algebrica spetta ad un italiano; fu scritto da Marino Ghetaldi nel 1630.