Con la geometria analitica, la geometria acquistava una elasticità nuova. La geometria classica abbisognava di un procedimento speciale per ogni singolo problema. La geometria analitica, invece, si fonda su poche regole, e con esse può dimostrare se una proposizione sia vera o falsa.
Come dicevamo, in contrapposto alla geometria, che, entrando nell’analitica, abbandonava l’antico suo campo di scienza delle forme dello spazio, la pratica della descrizione degli oggetti si sistematizza, diviene ora scienza soggetta a leggi sue speciali.
I fondatori della geometria descrittiva o proiettiva furono il Desargues (1593-1662), il Pascal (1623-62), uno dei più grandi genii matematici, il Monge (1746-1818). La sua prima cattedra venne istituita dalla Rivoluzione francese alla École normale, nel 1794, e tenuta dal Monge stesso. Più tardi, sotto l’Impero napoleonico, questi insegnò geometria descrittiva alla Scuola Politecnica di Parigi, e le sue lezioni andarono a formare il classico testo, che ha per titolo Géométrie descriptive (1800).
Passando dalla geometria all’algebra pura, la risoluzione delle equazioni di 4º grado è, nei secc. XVII-XVIII, raggiunta con metodi, diversi da quelli del secolo precedente (cfr. § 20), da parecchi matematici a un tempo: da Descartes e Tschirnhausen (sec. XVIII), dall’Euler e dal Lagrange (sec. XVIII).
Furono appunto questi tre ultimi a tentare disperatamente, con i mezzi algebrici, la soluzione di equazioni di grado superiore al quarto; ma senza riuscirvi. Il Leibniz (1646-1716) e il Gauss per primi giudicheranno impossibile condurre a termine questa impresa per le vie dell’algebra, e l’Abel, in sui primi del sec. XIX, darà, di tale assunto, una dimostrazione apodittica.
Il sec. XVII segna altresì, avvertimmo, gli albori o, (come altri vuole) la rinascita dell’analisi infinitesimale. È l’analisi infinitesimale il capitolo più delicato e più squisito della scienza dei numeri. Si serve di parecchi processi (calcolo integrale, differenziale, calcolo delle variazioni ecc.), e si dice infinitesimale, perchè, penetrando a fondo nell’essenza stessa della grandezza, la decompone per meglio studiarla in parti infinitamente piccole.
Fu il francese Bachet de Méziriac (1587-1638) a darne per primo una trattazione moderna, e tosto i grandi matematici dei sec. XVII e XVIII, più volte nominati (Newton, Leibniz, Fermat, Euler, Lagrange) e, oltre a questi, il francese Rolle si posero sulle sue orme, o ne ripeterono con altri metodi i felici tentativi.
Finalmente, le prime tavole logaritmiche risalgono ai primi del sec. XVII, per merito del Neper, del Bürgi, del Jost, del Briggs.
Tale il quadro superbo delle matematiche, nei secoli XVII-XVIII. Il secolo XIX ne continuerà l’opera, approfondirà i resultati, perfezionerà i metodi, troverà, per i vari problemi, nuove soluzioni, sopra tutto assoggetterà parecchie scienze, in primo la fisica, com’era avvenuto in Grecia, nell’età di Euclide e di Archimede, alle matematiche; separerà la professione del cultore della scienza pura da quella dell’ingegnere, che avrà ad applicarla, ma esso non darà più vita ad alcun nuovo ramo delle matematiche.