Понятна та осторожность и та боязнь, съ которой въ старину относились къ дробямъ. Это былъ труднѣйшій и запутаннѣйшій отдѣлъ ариѳметики. Не даромъ и сейчасъ у нѣмцевъ сохранилась поговорка «попасть въ дроби» (in die Brüche gerathen), что совершенно равносильно нашему «стать въ тупикъ», т.-е. зайти въ такой проулокъ, выходъ изъ котораго застроенъ. Трудность увеличивалась и осложнялась, главнымъ образомъ, тѣмъ, что не принято было давать никакихъ объясненій, и вся старательность ученика направлялась на заучиваніе правилъ, безъ всякаго пониманія того, откуда эти правила вытекаютъ. Кстати, и самая глава о дробяхъ была мало разработана и представлялась неясной даже для составителей учебниковъ, потому что дроби то смѣшивались съ именованными числами, то принималисъ состоящими изъ 2 чиселъ—числителя и знаменателя. Въ понятіяхъ о дѣйствіяхъ надъ дробями была большая путаница, особенно, что касалось умноженія и дѣленія, да и сейчасъ въ наши дни этотъ туманъ не разсѣялся; напр., первые 2–3 года, пока ребенокъ учитъ цѣлыя числа, ему толкуютъ, что умножить значитъ увеличить въ нѣсколько разъ, а потомъ, когда онъ переідетъ къ дробямъ, его начинаютъ убѣждать, что умножить вовсе не значитъ увеличить. Между тѣмъ, какъ легко было бы устранить все это, если бы взглянуть на дѣло попроще и согласиться, что умножить въ цѣлыхъ числахъ значитъ взять слагаемымъ нѣсколько разъ, а въ дробяхъ—взять долю числа. Трудны были дроби прежде, нелегки онѣ и теперь, а такъ какъ изученіе ихъ очень полезно и необходимо, то преподаватели старались и въ прозѣ, и въ стихахъ ободрить своихъ учениковъ и цобудить ихъ пересилить трудности. Знаменитый римскій ораторъ Цицеронъ (въ 1 ст. до Р. X.) счелъ долгомъ сказать свое авторитетное слово по этому случаю: «sine fractionibus arithmetices peritus nemo esse potest»; это значитъ: «безъ знанія дробей никто не можетъ признаваться свѣдущимъ въ ариѳметикѣ». То же самое встрѣчаемъ у нашего Магницкаго въ такихъ стихахъ:
Но нѣсть той ариѳметикъ,
Иже въ цѣлыхъ отвѣтникъ,
А въ доляхъ сый ничтоже,
Отвѣщати возможе.
Тѣмже о ты радѣяй,
Буди въ частяхъ умѣяй.
Особенное уваженіе къ дробямъ свидѣтельствуетъ авторъ одной славянской рукописи XVII в. Именно, разсуждая о тройномъ правилѣ, онъ говоритъ:
«Нѣсть се дивно, что тройная статія въ цѣлыхъ, но есть похвально, что въ доляхъ».
Разсмотримъ теперь подробно, какъ развилось ученіе о дробяхъ у различныхъ народовъ.