Итакъ, въ ариѳметикѣ дается только правило, безъ вывода, зато послѣ правила идетъ цѣлый рядъ примѣровъ, всего 60 номеровъ, съ отвѣтами, и предлагается заняться продѣлываніемъ этихъ примѣровъ, чтобы, такъ сказать, набить руку въ этомъ правилѣ.
Преемники Магницкаго, т.-е. составители русскихъ учебниковъ XVIII и даже ХІХ в., не оказались счастливѣе его въ этомъ случаѣ. Они тоже или не даютъ никакихъ объясненій умноженія дробей, или даютъ объясненія спутанныя и трудныя. Такъ, въ ариѳметикѣ Адодурова (1740 г.) про умноженіе дробей объясняется на 29 страницахъ, при чемъ объясненіе дано очень растянутое, многословное и малоубѣдительное. У Румовскаго (1760 г.) передъ дробями расположены пропорціи, и умноженіе дробей выводится изъ общаго свойства пропорцій, именно, что произведеніе крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ членовъ. И сами пропорціи являются для учениковъ темнымъ мѣстомъ, а ужъ про выводъ изъ нихъ и говорить нечего, особенно когда онѣ идутъ на буквахъ, какъ это видимъ у Румовскаго. Порядочное изложеніе встрѣчаемъ мы у Загорскаго (1806 г.), но уже у Павла Цвѣткова (1834 г.) опять тянется старая пѣсня. «Какъ множится дробь на дробь?» спрашиваетъ онъ, и отвѣчаетъ:
«При умноженіи дробей на дроби надлежитъ множить числітелей на числителей, а знаменателей на знаменателей».
Этимъ заканчивается § 34, и авторъ уже болѣе не желаетъ возвращаться къ подобному скучному вопросу, къ которому, вдобавокъ, никакъ еще не придумать подходящаго объясненія. И это въ то время, когда Цвѣтковъ для болѣе легкаго вопроса, для умноженія дроби на цѣлое, находитъ нужнымъ и возможнымъ дать толковое объясненіе.
Да, умноженіе на дробь и въ старину, и еще теперь является однимъ изъ самыхъ больныхъ мѣстъ начальной ариѳметики.
Дѣленіе. Дѣленіе дробей шло все время правильнымъ путемъ, безъ скачковъ и отклоненій въ сторону. Еще древніе египтяне вполнѣ логично заключали, что дѣленіе обратно умноженію, и что поэтому его можно привести къ умноженію. По своей привычкѣ къ основнымъ дробямъ, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единицѣ, они и дѣленіе разсматривали съ точки зрѣнія этихъ дробей. Примѣръ: 2 : 1⅓ ¼. Здѣсь египтяне ставили вопросъ: на какое чиоло надо помножить выраженіе 1⅓ ¼, иначе сказать 1 + ⅓ + ¼, чтобы получить въ произведеніи 2? Для этого помножаемъ количество 1⅓ ¼ на ⅔ ⅓ 1 / 6 1 / 12, и получаемъ 285 / 144; при этомъ отдѣльно помножается множимое число на ⅔, на ⅓, на 1 / 6 и на 1 / 12, съ такимъ расчетомъ, чтобы каждое слѣдующее произведеніе было вдвое меньше предыдущаго. Такъ какъ 285 / 144 отличается отъ даннаго числа 2 на 3 / 144, т.-е. на 1 / 72 1 / 144, то остается рѣшить вопросъ: на какое число надо умножить 1 ⅓ ¼, или 288 / 144, чтобы получить сперва 1 / 144? Очевидно, на 1 / 228. Чтобы получить 1 / 72, надо умножить на 1 / 114 Такимъ образомъ, послѣ довольно запутаннаго вычисленія получается итогъ: ⅔ ⅓ 1 / 6 1 / 12 1 / 114 1 / 288, который и считался у египтянъ вполнѣ нормальнымъ, какъ составленный изъ основныхъ дробей (дробь ⅔ у нихъ тоже признавалась основной, это единственная изъ дробей съ числителемъ 2, у нея даже былъ свой спеціальный знакъ).
Римскій способъ дѣленія дробей напоминаетъ собой римскій же способъ дѣленія цѣлыхъ чиселъ. Вотъ примѣръ Бернелинуса (въ XIII ст. по Р. X.). Раздѣлить 28 на 1¾. Дѣлится 28 не на 1¾, а на 2, т.-е. дѣлитель дополняется до цѣлаго числа, 28 : 2=14; теперь надо составить лишекъ или сдачу, которую слѣдуетъ возвратить дѣлимому; такъ какъ на каждую часть взято лишняго по ¼, то на всѣ 14 частей пришлось З½, дѣлимъ З½ на 2, будетъ въ частномъ 1, въ остаткѣ 1½; сдачи возвратится ¼, всего составится въ дѣлимомъ 1¾; дѣлимъ это количество на 1¾ и получимъ въ частномъ 1; такимъ образомъ, весь искомый результатъ будетъ 14 + 1 + 1 = 16.
Неморарій, математикъ среднихъ вѣковъ, современникъ Бернелинуса, пользуется для дѣленія аналогіей съ умноженіемъ и даетъ слѣдующій искусственный пріемъ. Задано раздѣлить 2 / 3 на 4 / 5. Тогда числитель и знаменатель первой дроби увеличивается въ 4 × 5 разъ и затѣмъ примѣняется правило: числителя раздѣлить на числителя, а знаменателя на знаменателя, подобно тому, какъ въ умноженіи дробей множатся числитель на числителя и знаменатель на знаменателя.
Получается формула:
