Это значит, если частное от деления 2 D 3 — B 3 на B — 2 D будет квадратом, то задача будет иметь решение.

Значит, нужно найти два числа, B и D, удовлетворяющие условию, что удвоенный куб одного минус куб другого, разделенный или умноженный (что приводит к тому же) на удвоенное второе минус первое, будет квадратом.

Положим первое X + 1, второе же 1. Удвоенный куб первого минус куб второго даст 1 + 6 X + 6 X 2 + 2 X 3. Удвоенное же второе минус первое 1 — X.

Итак, произведение 1 — X на 1 + 6 X + 6 X 2 + 2 X 3 должно дать квадрат. Но их произведение равно 1 + 5 X — 4 X 3 — 2 X 4, которое можно приравнять квадрату на 1 + 5 / 2 X — 25 / 8 X 2. Остальное не составит труда.

Чтобы распространить этот метод на случай произвольного отношения, достаточно взять в качестве одного из искомых чисел X плюс избыток большого члена отношения над меньшим, а в качестве второго числа — сам этот избыток, что мы и сделали для отношения 2 к 1. Действительно, при этом свободный член в окончательном произведении будет квадратом, и уравнение будет решаться без труда. Этим способом придем к двум числам, которые мы обозначили B и D, а затем вернемся к первоначальному вопросу.

Просматривая еще раз то, что было написано по поводу задачи 25 Диофанта, я хотел было все стереть, так как на самом деле эта задача не сводится к вопросу, решение которого мы дали. Однако, если мы и ошиблись в сведении одного вопроса к другому, тем не менее этот последний был решен правильно; наш труд был скорее не потерян, а неудачно помещен, поэтому мы его оставляем таким, каким мы его написали на полях.

Сам же вопрос Диофанта мы подвергли новому исследованию, и, тщательно применив наш метод, получили наконец общее решение; однако мы приведем только один пример, сами числа которого покажут, что они были найдены не случайно, но с помощью регулярного метода.

В предложении Диофанта ищутся два прямоугольных треугольника при условии, что произведение гипотенузы и катета одного имеет к произведению гипотенузы и катета другого отношение, как 5 к 11.

Вот два таких треугольника:

первый треугольник имеет