Unde concludetur latus illud esse summam laterum circa rectum trianguli rectanguli, et unum ex quadratis illud componentibus efficere basem, et duplum quadratum æquari perpendiculo.
Illud itaque triangulum rectangulum conficietur à duobus quadratis quorum summa et differentia erunt quadrati. At isti duo quadrati minores probabuntur primis quadratis primo suppositis, quorum tam summa quam differentia faciunt quadratum.
Ergo, si dentur duo quadrati quorum summa et differentia faciunt quadratum, dabitur in integris summa duorum quadratorum eiusdem naturæ, priore minor. Eodem ratiocinio dabitur et minor ista inventa per viam prioris, et semper in infinitum minores invenientur numeri in integris idem præstantes: Quod impossibile est, quia, dato numero quovis integro, non possunt dari infiniti in integris illo minores. Demonstrationem integram et fusius explicatam inserere margini vetat ipsius exiguitas.
Hac ratione deprehendimus et demonstratione confirmatus nullum numerum triangulum præter vnitatem æquari quadratoquadrato.
Перевод:
Площадь прямоугольного треугольника в числах не может быть квадратом.
Мы дадим доказательство этой найденной нами теоремы, которую мы открыли после мучительных и долгих раздумий, но этот род доказательства приведет к чудесным успехам в Арифметике.
Если бы площадь треугольника была квадратом, то были бы даны два квадрато-квадрата, разность которых была бы квадратом, откуда следует, что были бы даны два квадрата, сумма и разность которых были бы квадратами: значит, имелось бы квадратное число, равное квадрату и удвоенному квадрату при условии, что квадраты, которые его составляют, в сумме дают квадрат. Но если квадратное число составлено из квадрата и удвоенного другого квадрата, то его сторона подобным же образом составляется из квадрата и удвоенного квадрата, что мы можем легко доказать, откуда заключаем, что эта сторона является суммой сторон при прямом угле прямоугольного треугольника, и один из этих составляющих квадратов будет основанием, а удвоенный второй — высотой.
Значит, этот прямоугольный треугольник будет составлен из двух квадратных чисел, сумма и разность которых будут квадратами. Можно доказать, что эти два квадрата меньше, чем первоначальные квадраты, относительно которых было предположено, что их сумма и разность образуют квадраты. Значит, если даны два квадрата, сумма и разность которых образуют квадраты, то даны в целых числах два квадрата, имеющих то же свойство, но сумма которых меньше первой.
Таким же рассуждением получим затем другую сумму, меньшую той, которая была выведена из первой, и так до бесконечности будем находить целые числа, постоянно убывающие. Но это невозможно, так как если дано целое число, то не можеть иметься бесконечности целых чисел, меньших его[62].