Сначала положено 1 ядро, потом 2, 3, 4 и т. д. Словом, имеем ряд натуральных чисел. Легко убедиться, что искомая сумма равна тому числу в треугольнике Паскаля, которое стоит непосредственно под последним из слагаемых натуральных чисел. Так, в нашем примере под числом 4 стоит 10, и действительно 1+2+3+4=10. Число 10 обозначает число ядер в треугольной кучке, стороны которой содержат по 4 ядра. Числа 1, 3, 6, 10 называются "треугольными" числами.
Теперь представим себе пирамидальную кучу, составленную таким образом: на самом верху лежит одно ядро, под ним три, сложенные в треугольник,
затем шесть, сложенные в треугольник
и так далее. Чтобы сразу узнать, сколько ядер в такой куче, достаточно посмотреть, какое число написано под последним взятым нами треугольным числом. В данном примере искомым является число 10, стоящее под числом 6. Числа 1, 4, 10 и т. д., составляющие четвертый ряд (или столбец), могут быть названы "пирамидальными", потому что обозначают число ядер в пирамидальных кучах.
Итак, первое применение треугольника Паскаля состоит в том, что он позволяет почти мгновенно вычислять довольно сложные суммы.
В теории вероятностей треугольник Паскаля также заменяет сложные алгебраические формулы.
При решении задач, относящихся к теории вероятностей, Паскалю пришлось искать суммы чисел, идущих на нашей фигуре от одной римской цифры до другой такой же цифры в косвенном направлении (по диагонали), например, 1+2+1, 1+3+3+1 и т. д. Исследование этих чисел навело Паскаля на решение частного случая задачи, известной под именем бинома Ньютона. Таким образом, Паскаль задолго до Ньютона открыл способ возвышать двучлен в целую положительную степень; Ньютон обобщил этот результат, распространив его на любые степени и дав ему алгебраическую форму.
Теория треугольника Паскаля еще ждет дальнейших исследований, могущих внести значительные упрощения в разные области математики.