Нумерация есть первое действие, это — составление числа вообще, сочетание скольких угодно единиц. Но арифметическое действие есть исчисление и сочетание не просто единиц, а того, что уже представляет собою число.
Числа суть непосредственно и сначала совершенно неопределенно числа вообще; они поэтому вообще неравны; сочетание или счисление таких чисел есть сложение.
Ближайшее за этим определение чисел состоит в том, что числа вообще равны, они, следовательно, составляют одно единство, и имеется определенное множество таких чисел: счисление таких чисел есть умножение, причем безразлично, как распределяются между обоими числами, между множителями, определенное множество и единство, какой из них принимается за определенное множество и какой — за единство.
Третью определенность представляет собой, наконец, равенство определенного множеста и единства. Сочетание определенных так чисел есть возведение в степень и, ближайпшм образом, возведение в квадрат. Дальнейшее возведение в степень есть формальное продолжение умножения числа на само себя неопределенное количество раз. Так как в этом третьем определении достигнуто полнейшее равенство единственного имеющегося различия, определенного множества и единства, то не может быть больше арифметических действий, чем эти три. Сочетанию чисел соответствует разложение чисел согласно тем же определенностям. Поэтому наряду с тремя указанными действиями, которые постольку могут быть названы положительными, существуют таксе и три отрицательных действия.
Прибавление. Так как число есть вообще определенное количество в его полной определенности, то мы пользуемся им не только для определения так называемых дискретных величин, но также и для так называемых непрерывных величин. Приходится, поэтому, также и в геометрии прибегать к помощи числа в тех случаях, в которых дело идет об указании определенных пространственных конфигураций и их отношений.
с. Степень.
§ 103.
Граница тожественна с целым самого определенного количества; как многообразное внутри себя, она есть экстенсивная величина, но как внутри себя простая определенность, она есть интенсивная величина, или степень.
Примечание. Отличие непрерывных и дискретных величин от экстенсивных и интенсивных состоит в том, что первое различение относится к количеству вообще, а второе — к границе или определенности количества, как таковой. Экстенсивные и интенсивные величины также не суть два особых вида, каждый из которых содержит в себе определенность, которой нет в другом. То, что есть экстенсивная величина, есть столь же и интенсивная величина, и наоборот.
Прибавление. Интенсивная величина, или степень, отлична по своему понятию от экстенсивной величины, или определенного количества, и недопустимо поэтому, как это часто делают, не признавать этого различия и смешивать эти две формы величины. Это именно происходит в физике, когда в ней, например, объясняются различия удельного веса тем, что тело, удельный вес которого вдвое больше удельного веса другого тела, содержит в себе вдвое больше материальных частиц (атомов), чем другое тело. Это смешение происходит также и в учении о теплоте или о свете, когда объясняют различные степени температуры или яркости большим или меньшим количеством тепловых или световых частиц (молекул). Физики, пользующиеся подобными объяснениями, когда им указывают на несостоятельность последних, отговариваются, правда, тем, что этими объяснениями они отнюдь не думают разрешить вопроса о (как известно, непознаваемом) в-себе-бытии таких явлений и что они пользуются подобными выражениями лишь в видах большего удобства. Что касается, раньше всего, большего удобства, то оно состоит в более легком применении исчисления. Но непонятно, почему интенсивные величины, также находящие свое определенное выражение в числе, не могли бы быть так же легко вычислены, как и экстенсивные величины. Было бы ведь еще удобнее совершенно освободиться как от вычисления, так и от самой мысли. Затем следует еще заметить против указанной отговорки, что, пускаясь в объяснения такого рода, физики во всяком случае выходят за пределы области восприятия и опыта, вступают в область метафизики и (объявляемой в других случаях бесполезной и даже вредной) спекуляции. В опыте мы, разумеется, найдем, что если из двух кошельков с талерами один вдвое тяжелее другого, то это происходит потому, что в одном из этих кошельков имеется двести талеров, а в другом—только сто. Эти монеты можно видеть и вообще воспринимать органами чувств, атомы же, молекулы и т. и. лежат, напротив, вне области чувственного восприятия, и дело мышления —решать, каковы их приемлемость и значимость. Но (как мы указали раньше в прибавлении к § 98) абстрактный рассудок фиксирует содержащийся в понятии для-себя-бытия момент многого в форме атомов и принимает их как нечто последнее, и тот же самый абстрактный рассудок, вступая в противоречие как с наивным созерцанием, так и с подлинным конкретным мышлением, рассматривает в предлежащем случае экстенсивные величины как единственную форму количества и не признает интенсивных величин во всей их своеобразной определенности там, где они имеются налицо, а, опираясь на несостоятельную саму по себе гипотезу, стремится насильственным образом свести их к экстенсивным величинам.