Косвенное доказательство может быть или апагогическим, или разделительным.
Способ доказательства в апагогическом косвенном доказательстве заключается в следующем: вначале опровергается положение, противоречащее доказываемому тезису, а затем, на основании закона исключённого третьего, согласно которому из двух противоречащих высказываний одно истинно, а другое обязательно ложно, устанавливается, что доказываемый тезис необходимо истинен.
Апагогическое косвенное доказательство часто встречается в математике. При помощи его доказывается, например, положение, что в треугольнике, в котором два угла равны, равны также и противолежащие им стороны. Ход доказательства развёртывается следующим образом. Пусть в треугольнике АВС угол А равняется углу В и пусть противолежащие им стороны будут АС и ВС. Требуется доказать, что АС равно ВС.
В целях доказательства допускается, что истинно положение, противоречащее тезису, т. е. что АС не равно ВС. Тогда из этого последнего положения, согласно теореме, что во всяком треугольнике против бóльшего угла лежит бóльшая сторона, будет следовать, что угол А должен быть или больше, или меньше угла В. Но так как этот вывод противоречит принятому положению, то противоречащее тезису положение является ложным. Отсюда следует, что истинным должно быть положение, противоречащее ему, а именно — тезис.
При помощи этого способа доказательства, который называется также доказательством от противного, обосновывается истинность такой, например, теоремы геометрии:
Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пересечься, сколько бы их ни продолжали.
Ход доказательства развёртывается следующим образом. Допустим на минуту, что истинно положение, противоречащее тезису, т. е. что «два перпендикуляра к одной и той же прямой при продолжении пересекаются». Тогда из этого последнего положения следует, что из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра
Но этот вывод ложен, ибо мы знаем доказанную уже теорему о том, что «из всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр».
А раз ложно утверждение, что из всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра, то ложно и допущенное нами на минуту положение о том, что два перпендикуляра к одной и той же прямой при продолжении пересекаются, ибо это есть также нарушение теоремы о том, что «из всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр». Ведь два перпендикуляра, пересекающиеся при продолжении, есть два перпендикуляра, опущенные из одной точки на эту же самую прямую.
Так мы доказали, что допущенное на минуту в качестве истинного положение, противоречащее нашему тезису, о том, что «два перпендикуляра к одной и той же прямой при продолжении пересекаются», ложно.