В 1864 году Графическая статика Карла Кульмана, профессора цюрихской политехнической школы, кладет начало приложению современной геометрии к изысканиям, некогда составлявшим сферу аналитических вычислений, и по важности задач, ею затрагиваемых, представляет собой такой же шаг вперед, какой сделал Монж, создавший начертательную геометрию[250]. Эта последняя отрасль, развивавшаяся во Франции с момента своего возникновения и преимущественно направившаяся (именно благодаря Ла Гурнери, 1814–1883) на изучение поверхностей и их кривизны, в свою очередь обновилась за пределами Франции с введением методов проективной геометрии.

Итальянец Луиджи Кремона (родился в Павии в 1830 году, профессор в Болонье, затем в Милане, наконец в Риме с 1873 года) создает теорию афинности алгебраических кривых в своем Introduzione ad una teoria geometrica delle curve plane (1863), начала которой он затем распространил на три измерения (Preliminarii di una teoria geometrica delle superficie).

Георг-Фридрих-Бернгард Риман (1826–1866), сменивший в 1869 году Лежёна-Дирикле в Гёттингене, в одном из своих первых мемуаров, составленном в 1854 году по просьбе Гаусса, но оставшемся неизданным до 1867 года {О гипотезах, служащих основанием геометрии), значительно расширил область попыток неэвклидовой геометрии. Его идеи, отчасти популяризовавшиеся Гельмгольцем с 1868 года, нашли себе подтверждение в классическом мемуаре Бельтрами Очерк истолкования неэвклидовой геометрии (Saggio di interpreta-zione della geometria non-euclidea). Понятие положительной, нулевой или отрицательной кривизны пространства в п измерений и вывод о возможности (теоретической) геометрии (сферической или римановской) трех измерений, в которой все прямые плоскости взаимно пересекаются и где расстояние между двумя точками подчинено определенному максимуму, не могло не вызвать живейшего изумления. Но Феликсу Клейну предстояло в скором времени произвести еще более парадоксальные исследования.

В области аналитической геометрии мы на первом плане видим Гессе[251], который, став профессором в Гейдельберге (1865), опубликовал здесь в 1861 году свои Чтения (Vorlesungen), где он трактует о геометрии трех измерений и в частности о поверхностях второго порядка; около того же времени он развил свою систему соответствия между каждой точкой плоскости и парой точек на прямой. Затем Плюкер, вернувшись к чистой математике, построил Новую геометрию пространства, основанную на рассмотрении прямой линии пак элемента пространства (заглавие его посмертного труда, изданного в 1868 году), или, другими словами, на понятиях, введенных им, построил комплексы и конгруенты прямой.

Клебш (1833–1872), уроженец Кенигсберга, профессор политехникума в Цюрихе с 1858, в Гиссене с 1863, в Геттингене с 1868 года и автор Чтений по геометрии (Vorlesungen Geometrie), сделавшихся классическими, особенно прославился употреблением абелевских функций в общей теории кривых и поверхностей, а также исследованиями об изображении одной поверхности на другой. Он же ввел новое фундаментальное начало, именно расследование рода в классификации алгебраических кривых.

Алгебра и анализ. Первым трудом, на котором сказалось влияние идей Грассмана, была книга О комплексных числах Германа Ганкеля (1839–1873), вышедшая в 1867 году, но, несмотря на свои достоинства, встретившая менее радушный прием, чем замечательная посмертная работа (1874) того же автора по истории математики в древности и в средние века.

В 1864 году американский математик Бенджамин Пирс (1809–1880) приступил к изложению своих взглядов на линейную ассоциативную алгебру (обнимающую до 162 различных алгебраических систем). В 1858 году Кэйли обобщил понятие матриц, предложенное Гамильтоном и впоследствии более широко развитое Сильвестером и др.

Артур Кэйли, родившийся в Ричмонде в 1821 году, и Джемс-Джозеф Сильвестер, родившийся в Лондоне в 1814 году (и долгое время бывший профессором в Балтиморе), являются знаменитейшими английскими математиками XIX века, оставившими след во всех разветвлениях этой науки. Достаточно вспомнить их блестящие открытия (1849–1851) относительно прямых линий поверхностей третьего порядка, а равно и сделанное Кэйли приложение плюкеровских уравнений к исследованию в алгебраических кривых сложных сингулярностей (каждая из которых, как он показал, равна известному числу четырех простых сингулярностей). Но Кэйли и Сильвестер — прежде всего алгебраисты, и главная их заслуга заключается в том, что они обосновали новую отрасль науки, теорию инвариантов[252]. Кэйли следует считать настоящим творцом ее; он создал ее своими первыми мемуарами, печатавшимися в Кембриджском, математическом журнале (Cambridge Mathematical Journal) с 1845 года. Однако этот вопрос существовал уже в зародыше в работах Лагранжа и Гаусса, равно как и в новейших исследованиях Джорджа Буля (1815–1864), одного из своеобразнейших авторов, в частности известного своими исследованиями по символике обозначений и именно приложением ее к логике. Сильвестеру зато принадлежит, пожалуй, честь дальнейшей систематизации новой теории, и именно ему математика обязана большинством технических терминов, включая и самое слово инвариант.

В теории уравнений отметим трансцендентное решение уравнения пятой степени с помощью эллиптических функций, предложенное Эрмитом в 1858 году.

Исследования относительно сходимости рядов приобрели особенную важность с того времени, когда Копти и Абель показали недостаточную вообще строгость в вычислениях и доказательствах при употреблении рядов в XVIII веке. Жозеф Бертран открыл логарифмические признаки сходимости, которые долго считались постоянно решающими, но, в некоторых случаях не оправдываясь относительно рядов, в действительности сходящихся, должны бы считаться специальными. Первый общий признак, основанный на отношении двух рядом стоящих членов, был установлен Куммером (1810–1893) в выражении, вторая часть которого была впоследствии признана излишней.