Дирикле наука обязана первым строгим доказательством относительно изображения непрерывной функции тригонометрическим рядом Фурье; он полагал, однако, возможным представить в таком виде любую непрерывную функцию. Невозможность этого показал Риман в капитальном мемуаре, посвященном прямому исследованию функций, изображаемых тригонометрическим рядом. В том же мемуаре Риман указал необходимые и достаточные условия того, чтобы функция допускала интегрирование, и выяснил, что непрерывная функция может не всегда иметь производную.
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений вступило на новый путь благодаря трудам, опубликованным в 1865 и 1868 годах Лазарем Фуксом (род. в 1825 г.).
Теория эллиптических функций подверглась важным усовершенствованиям, среди которых надлежит отметить пользование модулярными функциями, введенное Эрмитом в 1858 году. Рассмотрение абелевских функций и в частности их соединения с б-функциями, обобщенными Якоби, были развиты Розенгайном (1816–1887), Борхартом (1817–1880) и Риманом. Этот последний пытался также обосновать на новом принципе (который он окрестил именем Дирикле) общую теорию функций комплексной переменной, а для рассмотрения различных форм прерывности изобрел знаменитые так называемые римановские поверхности, образуемые различными, хотя и совпадающими плоскостями.
По теории чисел отметим лишь труды Стефена Смита[253] (1826–1883), Куммера, который ввел понятие идеальных чисел, и Дедекиида (род. в 1831 г.), которому удалось их устранить.
Механика и астрономия. Так как в механике построение рациональной науки было уже закончено, то деятельность ученых направилась на прикладную часть. Ламе (1795–1870) дал в 1852 году Математическую теорию упругости, в которой проявил столько же аналитического искусства, как и в своих предшествующих работах по теплоте. Барре де Сен-Венан посвятил свою жизнь установлению согласия между теорией, и практикой и открыл истинные законы сгибания и скручивания.
Изучение Луны получило особенно глубокую разработку. В 1853 году Джон-Кауч Адаме установил, что ускорение среднего движения этого светила, согласно объяснению, данному Лапласом, составляет лишь половину наблюдаемого ускорения. Делонэ приписал эту разницу приливному трению и пытался переработать вычисление лунных уравнений.
Невозможность иного строения колец Сатурна, как в виде частиц, не связанных между собой, была установлена Пирсом и Максуэллом.
Что касается наблюдательной астрономии, то период с 1847 по 1870 год особенно замечателен открытиями множества мелких планет между Марсом и Юпитером, в дополнение к четырем, открытым с 1801 по 1807 год. Пятая планета была замечена Энке 8 декабря 1845 года; 1847 год дал еще три планеты; в 1870 году их было известно уже 112. В среднем открывалось четыре-пять планет в год.
Физико-химические науки. В IV томе мы видели, какими быстрыми успехами отличалась физика в первой половине XIX века. Эти успехи завершились решительным синтезом; старинное, но смутное убеждение философов-механистов, что все явления природы суть не что иное как движения, теперь могло облечься в математическую форму {сохранение силы, как выражался Гельмгольц, придававший этому слову тот же смысл, что и Декарт; сохранение энергии, как говорят теперь), и этот вывод не зависит ни от каких гипотез относительно фигур или свойств элементов материи. Сразу исчезли все особые жидкости, изобретавшиеся для того, чтобы легче было объяснить тепловые, электрические или магнитные явления; в то же время оказалось возможным превращать эти явления одни в другие или же вызывать их механическим путем при условии строгой эквивалентности.
Этот синтез — великое завоевание XIX века; но уже с момента возникновения этой идеи все усилия, по видимому, были направляемы в эту сторону. Вследствие этого произошло как бы замедление в частных исследованиях. Нужно было, впрочем, укрепить завоеванную территорию, либо скомбинировав новые опыты для освещения новых теорий, либо произведя более точные измерения для придания им большей строгости. Приложения все множатся, но великие открытия становятся все более редкими; из них можно указать только на спектральный анализ.