Die älteste Rechenkunst.

So geläufig uns heutzutage die Rechenkunst geworden ist und so einfach den Kindern der Gegenwart die dafür aufgestellten Regeln erscheinen, so wenig dürfen wir zu dem Glauben berechtigt sein, als sei es von jeher so gewesen und diese Kunst nur wie eine Erbschaft aus ältesten Zeiten anzusehen. Erst seit der Einführung der sogenannten arabischen Ziffern für das dekadische Zahlensystem, in welchem das Zeichen der Null und die Stellung der Zahlen in ihrer Aufeinanderfolge eine so tief einschneidende Bedeutung gewann, befand sich die Rechenkunst auf der ganzen Höhe ihrer Aufgabe. Von dieser Zeit an waren alle Schwierigkeiten beseitigt, mit welchen die Menschheit der früheren Tage zu kämpfen hatte, um die Zahl zu beherrschen und die verschiedenen Rechenoperationen ohne die kleinsten Irrtümer auszuführen.

Was heute von Schule und Haus an bis zum großen Lebensmarkte hin zu einer alltäglichen Gewohnheit geworden ist und mit der größten Leichtigkeit durchgeführt wird, konnte vordem nur auf mühsamem Wege erreicht werden, wobei alle Hilfsmittel erschöpft wurden, um in langsam tastender Weise das Resultat einer beliebigen Rechenoperation zu gewinnen. Die Finger der beiden Hände genügten anfangs für das Zusammenziehen kleiner Zahlenposten, einen erweiterten Fortschritt kennzeichnet die Anwendung von Steinchen (Calculi nannten sie die Römer und leiteten davon den Ausdruck Calculare für die Operationen des Rechnens ab), deren sich die ältesten Rechenmeister bedienten, aber erst die Einführung des sogenannten Abakus oder Rechenbrettes, wie es noch heutigestags in Rußland und in den Bazaren des Morgenlandes als mechanisches Hilfsmittel bei den gewöhnlichsten Berechnungen verwendet wird, muß als der erste Schritt zu einer vereinfachten systematischen Behandlung der Zahlen auf dekadischer Grundlage bei Griechen und Römern bezeichnet werden.

Vor der Einführung der arabischen Ziffern, wie wir sie zu nennen belieben, bedienten sich die eben erwähnten beiden Kulturvölker, ähnlich wie beispielsweise die Ebräer, der Buchstaben ihres Alphabets, um die Einer, Zehner, Hunderter, Tausender u. s. w. der dekadischen Zahlenreihen für das Auge erkennbar anzudeuten. Das Beschwerliche einer derartigen Bezeichnungsweise liegt auf der Hand und bedarf keiner ausführlicheren Erörterung.

Das älteste Kulturvolk der Erde, oder die Ägypter, schlug einen anderen Weg ein, indem es für jede Einheit einer dekadischen Reihe ein besonderes Zeichen schuf, dessen Wiederholung die Vielfachen ausdrückte. Ein stehender Strich besaß den Wert unserer Zahl 1, zwei, drei u. s. w. bis neun nebeneinander stehende Linien hatten die Werte von 2, 3 u. s. w. bis 9. Für 10 bildete man ein eigenes Zeichen in Hufeisengestalt, dessen Wiederholung in derselben Weise die vielfachen von 10 bis 90 dem Auge sichtbar darstellte, ebenso für 100, 1000 u. s. w. bis zu einer Million hin. In der Kursivschrift der Hieroglyphen oder der sogenannten hieratischen Schrift suchte man die dem Schreibenden Zeit raubenden Wiederholungen der einzelnen dekadischen Zahlzeichen möglichst zu vermeiden und sie für das Auge durch ein einziges Zeichen darzustellen. Ein liegender Strich — z. B. vertrat die Stelle von |||, oder 4, zwei übereinander liegende = die Stelle von 2×4 Strichen, oder mit anderen Worten der Zahl 8 nach ihrer hieroglyphischen Bezeichnungsweise.

War es erforderlich in irgend einer Inschrift von Brüchen zu reden, so spielten auch darin dieselben Bezeichnungen der Zahlen ihre Rolle, nur setzte man ihnen das Wörtchen ro voran, welches soviel als unser „Teil“, oder besser -tel, am Schlusse eines Zahlwortes bezeichnete. Ro 3, ro 4, ro 20, ro 124 hieß soviel als ein Drittel, ein Viertel, ein Zwanzigstel, ein 124stel. Für die Hälfte hatte man ein eigenes Zeichen erfunden, ebenso für 2⁄3 und wenige andere Brüche. Im übrigen kannte man nur Brüche mit dem Zähler 1, also 1⁄3, ¼, 1⁄5 u. s. w. Zum Ausdruck solcher Brüche, deren Zähler größer als 1 war, nahm man einfach seine Zuflucht zur Zerlegung derselben in solche mit dem Zähler 1, deren Summe den gewünschten Hauptbruch ergab. So wurde ¾ einfach in die Brüche ½ und ¼ zerlegt, die in der schriftlichen Darstellung hintereinander fortliefen. War eine derartige Zerlegung nicht immer durchführbar, so ließ man den letzten kleinsten Bruch ganz aus dem Spiele und übersah lieber den dadurch entstandenen kleinen Fehler.

Wie beschwerlich und zugleich zeitraubend die Bezeichnungen einer Reihe größerer Zahlen, vielleicht dazu noch mit hinzugefügten Brüchen, in einer hieroglyphischen Darstellung sein mußten, das beweisen uns Hunderte und aber Hunderte von Beispielen auf den steinernen Wänden der altägyptischen Tempel und Gräber. Nur auf den hieratisch geschriebenen Papyrusrollen nimmt ihre Darstellung aus dem oben angeführten Grunde bescheidenere Dimensionen an.

Und dennoch haben nicht nur die jüngeren, sondern bereits die ältesten Ägypter es fertig gebracht, trotz ihrer unbeholfenen Zahlenbezeichnungen nicht nur die verzwicktesten Rechenoperationen durchzuführen, sondern in Gestalt gewählter Beispiele ihre arithmetischen Lehrsätze der Mit- und Nachwelt zur Nachachtung in methodischer Weise zu enthüllen. Den ersten Anstoß dazu gab die vielfach geübte Praxis der Vermessung.

Schon die Griechen lebten der Überzeugung, daß in Ägypten die Wiege der Feldmeßkunst gestanden habe und daß diese Kunst von dort zu den Hellenen gekommen sei. Das gesteht als einer der ältesten Zeugen Herodot (II. 109.) ausdrücklich zu. Als Grund dafür giebt der Vater der Geschichte die Notwendigkeit einer alljährlichen Berichtigung der an den König zu entrichtenden Steuerquote an, weil die eintretende Überschwemmung von den vermessenen Äckern der Einwohner gelegentlich ein Stück loszureißen pflege und den Ertrag derselben dadurch verringere. Um diesen Unterschied in gerechter Weise festzustellen, seien die königlichen Feldmesser mit der Nachmessung von Amts wegen betraut worden. Aber auch sonst fehlt es nicht an Zeugnissen aus dem klassischen Altertume, daß nicht bloß die Feldmeßkunst, sondern das gesamte Rechenwesen auf altägyptische Ursprünge zurückzuführen sei.

Ich will an dieser Stelle und gleichsam in Parenthese eine Thatsache anführen, welche die neueste Geschichte Ägyptens seit der englischen Okkupation betrifft und mit der herodotischen Bemerkung in einem gewissen Zusammenhange steht. Seit einigen Jahren beschäftigt sich die britische Verwaltung im Nilthale mit der schwierigen und zeitraubenden Aufgabe, eine Vermessung des gesamten urbaren Landes durchzuführen, und zwar auf Grund der Lehren der europäischen Feldmeßkunst, da nähere Prüfungen des Katasters der früheren ägyptischen Verwaltung Ungenauigkeiten in den Angaben der vermessenen Feldstücke herausgestellt haben. Die aus den europäischen Berechnungen hervorgehenden Unterschiede waren bald größer, bald kleiner und beeinflußten damit die Höhe der den Besitzern auferlegten Abgaben.

Aber dennoch war es nicht eine bloße Willkür, welche den ägyptischen Vermessungen zu Grunde lag. Erst in diesem Jahre hat sich nämlich die wunderliche Thatsache herausgestellt, daß die modernen ägyptischen Massahin oder Feldmesser, meistens Kopten, d. h. christliche Nachkommen der alten Ägypter, sich eines Systems bedienten, das zwar auf Grund seiner fehlerhaften Anlage unrichtig, seinem Ursprunge nach uralt, mit andern Worten urägyptisch ist. In welcher sonderbaren Weise die modernen Feldmesser, welche sich eines Rohrstabes oder eines Palmenzweiges in der Länge einer sogenannten Kassabeh (3,55 Meter) bei ihrer Arbeit zu bedienen pflegen, ihre Operationen ausführten, mögen die folgenden Beispiele beweisen.

Um den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks festzustellen, ohne Rücksicht auf dessen Gestalt in Bezug auf die Winkel, multiplizieren sie nach alter Gewohnheit die halbe Länge der kleinsten Seite mit der halben Summe der Längen der beiden übrigen Seiten. Der Irrtum bei dieser Art der Berechnung erreicht nicht selten das Vierfache des geometrisch bestimmten wirklichen Wertes, so daß der Steuerzahler sich im höchsten Maße benachteiligt sehen mußte. Bei einem vierseitigen Feldstücke, wiederum ohne Rücksicht auf seine besondere Gestaltung, multiplizieren sie die Hälfte der Längensummen je beider gegenüberliegender Seiten miteinander. Eine solche Methode ergiebt nur bei einem Viereck oder Rechteck das geometrisch richtige Resultat, führt aber bei allen übrigen vierseitigen Feldstücken, z. B. in Trapezform, zu den gröbsten Irrtümern.

Selbst die späteren Niederlassungen der Hellenen in Ägypten und die Bekanntschaft mit den Fortschritten der angewandten Mathematik änderten nichts an den herkömmlichen Gewohnheiten der ägyptischen Harpedonapten oder Feldmesser, Gewohnheiten, die sich bis zur Stunde unter den modernen Ägyptern fortgepflanzt haben. So befinden sich beispielsweise lange hieroglyphische Inschriften auf den Mauerwänden des Tempels von Edfu, deren Inhalt die Größe des heiligen Tempelgutes nach Zahl und Maß der Äcker auf Grund der Angaben der Feldmesser betrifft. Die nun 2000 Jahre alte Methode kehrt auch darin wieder. So wird darin ein quadratisches Feldstück von 2 Ruten die Seite mit Hilfe der Formel (2 + 2)2 × (2 + 2)2 richtig auf 4

Ruten berechnet und ebenso ein rechteckiges, dessen gegenüberliegende Seiten die Längen von 2 und 20 Ruten betrugen, durch die Formel (2 + 2)2 × (20 + 20)2 = 40

Ruten bestimmt, aber für ein trapezförmiges Feldstück mit den gegenüberliegenden Seitenlängen 21 zu 20 und 4 zu 4 Ruten findet sich irrtümlich dieselbe Formel angewendet: (21 + 20)2 × (4 + 4)2 = 82

Ruten, während die geometrische Berechnung dafür die Zahl 81,18

Ruten ergiebt.

Dieselbe Formel, welche der Berechnung des Flächeninhaltes eines vierseitigen Feldes ohne Rücksicht auf seine besondere Gestalt im höchsten Altertum zu Grunde lag, findet sich in den Hunderten von Beispielen der Edfuer Inschriften auch auf jedes Dreieck irgend welcher Gestalt angewendet, nur mit dem Unterschiede, daß die der kleinsten Seite gegenüber liegende Spitze des Dreiecks, gleichsam die vierte, zu einem mathematischen Punkte zusammengeschrumpfte Linie, durch das Wort „nichts“ ersetzt wurde. Wir würden dafür 0 sagen. Zur Berechnung eines gleichseitigen Dreiecks von je einer Rute Längenausdehnung der Seite findet sich daher der gewöhnliche Ansatz: (1 + 0)2 × (1 + 1)2 = ½

Rute, für ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundlinie einer Rute und der Schenkellänge von 2 Ruten tritt der gleiche Ansatz ein, nämlich (1 + 0)2 × (2 + 2)2 = 1

Rute. Thatsächlich beträgt aber der Inhalt des ersteren 0,433 gegen 0,5

Ruten, und der des letzteren 0,968 gegen 1

Rute. Die Fehler, welche aus dieser Methode entspringen, die noch in den Jahrhunderten unmittelbar vor dem Anfange unserer Zeitrechnung ihre Verwendung fand, sind genau dieselben, welche sich aus den gleichen Ansätzen der modernen Feldmesser in Ägypten ergeben und welche mit allem Rechte die englische Verwaltung durch geometrische Nachmessung zu beseitigen bemüht ist, um einen genauen Kataster des urbaren Landes im Nilthale ein für allemal festzustellen und eine gerechte Verteilung der Besteuerung bebauter Felder herbeizuführen.

Eine derartige Berechnung für alle Fälle verstößt gegen die bekanntesten und einfachsten Regeln der Geometrie, wie sie heutzutage unseren Kindern in der Schule gelehrt werden und rechtfertigt die britische Rektifizierung, aber sie findet ihr ältestes Vorbild in einem altägyptischen Papyrus, dessen Abfassung in die Zeiten zwischen den Jahren 1800 und 2000 v. Chr. fällt. Beinahe 4000 Jahre hindurch hatte sich danach die einseitige Lehre bis zu den modernen ägyptischen Feldmessern fortgepflanzt, um schließlich von den Engländern über den Haufen geworfen zu werden!

Der altägyptische Papyrus, auf welchen ich soeben angespielt habe, befindet sich im Britischen Museum zu London, ist in hieratischen Schriftzügen abgefaßt, mit mathematischen Figuren versehen und deshalb in die Wissenschaft unter dem Namen des mathematischen Papyrus von London eingeführt. Aus seinem reichen Inhalt, der durch die Behandlung eines deutschen Gelehrten (Prof. Eisenlohr in Heidelberg) bekannter geworden ist, hebe ich nur hervor, daß die Berechnung des Flächeninhaltes von Feldstücken und des kubischen Inhaltes meist zur Aufnahme von Getreide bestimmter hohler Räume bis zu den kleinsten Maßen hin den Hauptgegenstand der an Beispielen erläuterten Lehrsätze bildet. Wie nahe man aber in einzelnen Fällen der geometrischen Wahrheit war, dafür spricht vor allem die bereits vor fast 4000 Jahren aufgestellte Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines kreisförmigen Feldstückes. Aus den im Papyrus vorgelegten Beispielen erhellt, daß man von dem Durchmesser des Kreises ein Neuntel abzog und den übrig bleibenden Rest mit sich selbst multiplizierte. Ich führe in wörtlicher Übersetzung ein Beispiel an, dem ein Kreis beigefügt ist mit den Schriftzeichen für „9 Ruten“ (oder Kassabeh) in seinem Innern. Der dazu gehörige Text lautet wie folgt: „Berechnung eines kreisförmigen Feldes von 9 Ruten (Durchmesser). Es wird die Frage nach seinem Flächeninhalt gestellt. Ziehe bei dir sein Neuntel ab, das ist 1. Als Rest bleibt 8. Multipliziere 8 mal 8. Das Facit ist 64

Ruten. Das ist sein Flächeninhalt.“

Man muß billig erstaunt sein, daß dies Resultat sich nur unmerklich von der wirklich richtigen Zahl (64,0224

Ruten) auf Grund unserer modernen Methode unterscheidet, in welcher die Zahl π eine so bedeutungsvolle Rolle für die Kreisberechnung spielt.

Die Beispiele, so viel deren in dem uralten Papyrus ziffernmäßig entwickelt werden, beziehen sich mit äußerst geringen Ausnahmen auf die praktische Thätigkeit des Ackerbauers in Bezug auf die Vermessung seiner Felder und die räumliche Bestimmung der für die Aufnahme der verschiedenen Getreidesorten errichteten Speicher oder sonstiger Baulichkeiten mit Hilfe der bestehenden großen Getreidemaße und ihrer Unterabteilungen. Das waren unentbehrliche Geschäfte gerade wie dies bis zur heutigen Stunde in ganz Ägypten und in der übrigen Welt der Fall ist. Daß man schon sehr frühzeitig daran dachte, die Hauptregeln der Vermessungskunst für den alltäglichen Gebrauch des Landmannes niederzuschreiben, dafür tritt der Londoner Papyrus als redender Zeuge ein.

Soweit wir gegenwärtig in der Lage sind, die Textworte zu verstehen und die Berechnungen von Zahl und Maß bis in ihre Einzelheiten zu verfolgen, stellt sich als allgemeines und zweifelloses Ergebnis die Thatsache heraus, daß die in dem Papyrus niedergelegten Regeln und Methoden mit ihren als Erläuterung dienenden zahlreichen Beispielen auf einer verständigen Grundlage beruhen und durchaus nicht an ein Zeitalter der menschlichen Kindheit erinnern. Es ist im Gegenteil erstaunlich, wie man ohne die Kenntnis des Stellenwertes der Zahlenreihen die verwickeltsten Rechnungen durchzuführen vermochte und selbst bei Bruchberechnungen nur in äußerst seltenen Fällen, wie man zu sagen pflegt, selber in die Brüche geriet.

Nur ein Umstand bleibt dabei auffällig, daß man nämlich nicht nur die einfachsten Brüche mit dem Zähler Eins, die man in der kürzesten Weise zu bezeichnen imstande war, in den häufigsten Fällen in kleinere Brüche mit demselben Zähler Eins zerlegte, sondern die Nenner in ein gewisses abhängiges Zahlenverhältnis zu einander stellte. So finden sich beispielsweise in einer mir vorliegenden Rechnung, von welcher weiter unten ausführlicher noch die Rede sein wird, die Brüche 1⁄10 und 1⁄5 durch die nebeneinanderstehenden Bruchzahlen 1⁄16, 1⁄32, 2⁄320 und 1⁄8, 1⁄16, 4⁄320 gleichsam umschrieben wieder. Durch eine leicht ausführbare Nachrechnung überzeugt man sich sofort von der Richtigkeit beider Ansätze.

Es diene zum Verständnis dieser auffallenden Erscheinung die Bemerkung, daß die Bezeichnung jener Teilbrüche nicht mit Hilfe der gewöhnlichen Zahlzeichen, sondern durch Schriftcharaktere vor sich geht, von denen jedes einzelne ein besonderes Wort zum Ausdruck eines bestimmten Hohlmaßes darstellt. Es ist etwa so als wollte man mit Bezug auf unser älteres Getreidemaß-System die Brüche ½, 1⁄24 und 1⁄384 (Wispel) mit den Worten: Malter, Scheffel und Metze wiedergeben. Es ist sofort ersichtlich, daß diese Wörter der Reihe nach bestimmte Bruchteile des Wispels andeuten, ohne daß dies zunächst aus ihrem Namen selber hervorgeht. Für denjenigen, welcher mit den Getreidemaßen und ihren Verhältnissen zu einander vertraut ist, sind ihre ziffernmäßige Wertgrößen von vornherein verständlich.

Ich fühle mich bei dieser Gelegenheit veranlaßt, auf eine wenig bekannte, sehr eigentümliche Rechnungsmethode überzugehen, welche noch heutzutage von den koptischen Schreibern der Regierung, aber auch sonst im gewöhnlichen Lebensverkehr ausgeübt wird, sobald es sich um Rechnungen mit Brüchen handelt. Diese Methode, welche mit der altägyptischen die größte Verwandtschaft besitzt, führt im Munde der Eingeborenen den Namen der indischen Rechnung, obgleich ich keinen Grund für ihren Ursprung anzugeben vermag.

Einleitend mache ich darauf aufmerksam, daß man bei Unterhaltungen mit den modernen Ägyptern sehr häufig die Redensart vernimmt: das ist wie die Elle, oder das paßt wie die 24, um die Genauigkeit irgend einer Angabe im Besonderen zu bestätigen. Man muß dazu wissen, daß nicht nur bei den gegenwärtigen Bewohnern im Nilthale, sondern schon bei den alten und ältesten Ägyptern die Elle eine ganz besondere Heiligkeit besaß, und daß man sie damals wie noch heute in 24 gleiche Teile teilte, welche im Altertume „Finger“ hießen und jetzt den Namen Kirat tragen. Nicht nur die Einheit der Elle, sondern jede Einheit überhaupt wird von den heutigen Ägypter als aus 24 gleichen Teilen bestehend betrachtet, so daß ihre Hälfte durch 12, ihr Viertel durch 6, ihr Sechstel durch 4, ihr Achtel durch 3 u. s. w. bezeichnet zu werden pflegt. Handelt es sich in den modernen Berechnungen der koptischen Schreiber z. B. um die Summierung der Brüche ½, 1⁄8, 1⁄12, so addiert man die Teilstücke der Elle: 12 + 3 + 2 = 17 zusammen, und zieht daraus die rechnungsmäßigen Schlüsse. Da ja der Bruch für sich allein wieder als eine neue Einheit betrachtet wird, so entsteht daraus ein weit verzweigtes Rechnungssystem, welches bis zu den kleinsten Brüchen fortgeführt wird.

Ganz ähnliche Anschauungen herrschten bereits im höchsten Altertum vor, wenigstens in Bezug auf die überlieferten zahlreichen Beispiele, in welchen es sich bis zu den Brüchen hin um die Berechnungen von Hohlmaßen für Getreide, Flüssigkeiten u. s. w. handelte. Jede einzelne Maßeinheit wurde in 320 gleiche Teile geteilt, wobei die ganzen Zahlen 320, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 4, 3, 2, 1 unserer 1 und den Brüchen ½, ¼, 1⁄8, 1⁄16, 1⁄32, 1⁄64, 4⁄320, 3⁄320, 2⁄320, 1⁄320 entsprechen. Die Beispiele, welche ich oben angeführt hatte, nämlich die Zerlegungen der Brüche 1⁄10 und 1⁄5 in ihre besonderen Teilstücke, liefern dafür sprechende Zeugnisse.

1⁄16 + 1⁄32 + 2⁄320 an Stelle des einfachen Bruches 1⁄10, besagen nichts weiter, als daß es sich um die Summierung von 20 + 10 + 2 = 32 Teilstücken der 320 der Grundeinheit, d. h. um 1⁄10 derselben, handeln soll.

Der Papyrus von London führt zahlreiche Beispiele dieser Rechnungsmethoden an, die, wie angegeben ist, etwa in die Zeit zwischen 1800 und 2000 v. Chr. fallen. Das ist ein hohes Alter, wie es nur von wenigen Handschriften in der Welt übertroffen wird, aber trotzdem bietet die merkwürdige Urkunde nicht das älteste Beispiel der besprochenen Rechnungsmethode dar. Erst vor kurzem hat mich ein glücklicher Zufall ein Schriftstück kennen gelehrt, das ich mit vollem Rechte als die älteste Rechentafel der Welt überhaupt bezeichnen darf, wie es der Leser des weiteren sehen wird.

Es war im April des laufenden Jahres 1891 als während meines Aufenthaltes im Museum von Gizeh mein Blick zufällig auf zwei beschriebene Holztafeln fiel, die sich in einer der obersten Abteilungen eines Kastens mit ägyptischen Antiken halb versteckt vorfanden. Auf meine Bitte wurden sie aus ihrem Verließe geholt und mir die Gelegenheit geboten, sie in aller Ruhe unter dem Lichte der klaren ägyptischen Sonne zu prüfen. Jede der beiden Tafeln hat eine Länge von etwa einem Fuße, die Höhe eines halben Fußes, und auf beiden befindet sich an der oberen Längsseite eine kleine Öffnung, als ob man ehemals eine Schnur dadurch gezogen habe, um sie mit Bequemlichkeit, etwa wie ein Schüler seine Rechentafel, zu tragen oder an einen Nagel aufzuhängen. Beide Tafeln sind mit einem Gipsstuck überzogen gewesen, der vollständig geglättet erscheint und heutzutage eine schmutzige, wachsgelbe Färbung angenommen hat. Sie waren auf beiden Seiten beschrieben, wobei es sich mir bald herausstellte, daß die dick aufgetragenen Züge fast nur Ziffern in kolonnenartig angeordneten Berechnungen enthielten. Ein großer Teil der Schrift erscheint verwischt, allein dieser Übelstand ist nicht beklagenswert, da derselbe Gegenstand meist drei- bis viermal wiederholt entgegentritt, so daß eine gegenseitige Prüfung die vollständige Herstellung der Grundrechnung gestattet. An dem Rande beider Tafeln befinden sich lange Namensverzeichnisse von Personen, die, wie die Zahlzeichen, in altertümlicher Schrift ausgeführt sind und deren Ursprung nur der elften oder zwölften Dynastie, d. h. etwa der Mitte des 3. Jahrtausends, angehören kann. Das geht nicht bloß aus dem Schriftcharakter selber, sondern noch vielmehr aus einzelnen Namensformen hervor, welche mit denen bekannter Könige jener Epoche identisch sind. Ich nenne an dieser Stelle die drei auffallendsten, nämlich Entef, Amenemhet und Ufurtisen. Es kann somit über das angegebene Alter jener merkwürdigen Tafeln kein Zweifel obwalten und wir sind dadurch in die Lage gebracht, den Ursprung der Rechnungen selber in jene uralte Zeit zu versetzen.

Der Fundort der beiden erwähnten Rechentafeln war ein Grab gewesen, und es läßt sich nach sonstigen Vorgängen und Beispielen mit zweifellosester Gewißheit annehmen, daß sie als Erinnerungen an einen teuren Toten, der Mumie desselben beigegeben waren, um vielleicht an seine letzte Thätigkeit im Rechenfache auf Erden zu erinnern. Es war offenbar ein Schüler, der das Zeitliche gesegnet hatte, ohne seine Studien auf dem bezeichneten Gebiete vollendet haben zu können. Die kleinen Fehler und Irrtümer nämlich, welche in den einzelnen Kolonnen mit unterlaufen, die Wiederholungen der Abschrift derselben Rechnung und sonstige Indizien weisen darauf hin, daß der ehemals Lebende sich mitten in der Schulung befand, als er plötzlich seinem Leben Valet sagen mußte.

Ein näheres Studium der Kolonnen, die ziemlich regellos und wild neben- und untereinander fortlaufen und die beiden Seiten jeder Tafel bedecken, läßt mit aller Bestimmtheit feststellen, daß es sich in sämtlichen Rechnungen um die Proportion gewisser Zahlenreihen zu einander handelte. Als Anfangsproportionen erscheinen die folgenden fünf: 1 : 1⁄3, 1 : 7, 1 : 10, 1 : 11, 1 : 13. Obgleich die Zahlen ohne besondere Rechnungszeichen neben- und untereinander erscheinen, so lehrt schon der erste Blick, daß Zahlenverhältnisse vorliegen, die in fortlaufender Stufenfolge von den einfachen Zahlen bis zu den zusammengesetzten Brüchen hin entwickelt werden.

Ich führe als erstes, weil durchsichtigstes und einfachstes Beispiel die Verhältnisse von 1 : 10 an, die ich in nachstehender Übertragung nach dem Ziffernbilde der Tafeln wiedergebe.

Vervollständigt ist dies Bild durch mich selbst nur durch das moderne Zeichen der Proportion, um auch für das Auge die einzelnen Verhältnisse deutlicher hervortreten zu lassen:

100

200

20 + 10 + 2320 (= 1⁄10)

40 + 20 + 4320 (= 1⁄5)

80 + 40 + 5 + 3320 (= 2⁄5)

160 + 80 + 10 + 5 + 1⁄1320 (= 4⁄5)

Man überzeugt sich, auf welchem rationellen, wenn auch zeitraubenden Umwege mit Hilfe der Teilzahl 320, in ihrer fortschreitenden Entwickelung von Stufe zu Stufe, man es erreichte, die Bruchwerte vollkommen zu beherrschen und ihre Multiplikation in leichtester Weise durchzuführen. Noch viel beredter spricht ein anderer Ansatz dafür, in welchem die Verhältnisse nach der Proportion 1 : 1⁄3 beginnen, und deren fortschreitendes Schema nach dem mir vorliegenden Texte die folgende Übertragung zeigt:

1⁄3

2⁄3

11⁄3

12⁄3

31⁄3

5 + 12⁄3 (= 62⁄3)

10 + 31⁄3 (= 131⁄3)

20 + 5 + 12⁄3 (= 262⁄3)

160

40 + 10 + 2 + 11⁄3 (= 531⁄3)

320

80 + 20 + 5 + 12⁄3 (= 1062⁄3)

Das System der 320 begegnete nicht selten Schwierigkeiten, um Brüche auszudrücken, deren Nenner aus einer wenig oder gar nicht teilbaren Zahl bestand. In einem solchen Falle versuchte man mit Annäherungswerten auszukommen, etwa nach Art unserer abgekürzten Decimalbrüche. Ein lehrreiches Beispiel gewährt die dreimal auf den beiden Tafeln wiederholte Reihe der Proportionen nach dem Grundschema 1 : 11, welche ich in nachstehender Umschrift wiedergebe.

110

220

121

20 + 5 + 4320 (= 29320) 1⁄11

40 + 10 + 5 + 3320 (= 58320) 1⁄6 + 1⁄66 (= 2⁄11)

80 + 20 + 10 + 5 + 1320 (= 116320) 1⁄3 + 1⁄33 (= 4⁄11)

160 + 40 + 20 + 10 + 2320 (= 232320) 2⁄3 + 1⁄22 1⁄66 (= 8⁄11)

In den letzten vier Zeilen sollten rechnungsmäßig der Bruch 1⁄11 und seine vielfachen 2⁄11, 4⁄11, 8⁄11, das Ergebnis bilden. Thatsächlich führte aber das System auf den Hauptbruch 29⁄320 an Stelle des erwarteten 29⁄319 = 1⁄11. Man ließ ihn unbeschadet des Fehlers stehen, wies jedoch durch ein dahingestelltes 1⁄11 auf die Erkenntnis des Fehlers hin, ebenso auch in den folgenden drei Zeilen, worin außerdem die Brüche 2⁄11, 4⁄11, 8⁄11 nach der üblichen Methode in solche mit dem Zähler 1 zerlegt sind.

Ähnlich verhält es sich mit der Proportionsreihe, an deren Spitze sich als Schema 7 : 1 befindet und die ich in genauer Umschrift wiedergebe:

1⁄4

1⁄28

1⁄2

1⁄14

40 + 51⁄2320 (= 91640)

80+ 10 + 1320 (= 91320)

160+ 20 + 2320 (= 182320)

An Stelle des Bruches 91⁄640 hätte man 91⁄637 erwartet, um die Proportionszahl 1⁄7 zu gewinnen. Der kleine Fehler blieb indes unbeachtet, sowohl hier als in den beiden darauf folgenden Stufen (in denen er sich verdoppeln und vervierfachen mußte) um nicht unnötige Rechnungsschwierigkeiten in das System hineinzutragen, in welchem 320 und die Unterabteilungen nicht bloße Zahlen, sondern Maßverhältnisse ausdrücken, mit welchen der Landmann gewohnheitsmäßig vertraut war. Auch unsere Bauern reden von einer Metze, ohne dabei an den 1⁄384 Teil des Wispels zu denken. Die 320 Teilstücke, aus welchen auf Grund der ältesten ägyptischen Vorstellungen ein Ganzes bestand und deren Haupteinheiten sich in Reihenfolge 160 (= ½), 80 (= ¼), 40 (= 1⁄8), 20 (= 1⁄16), 10 (= 1⁄32), 5 (= 1⁄64), 4, 3, 2, 1 darstellen, haben für das gesamte Rechenwesen der alten Ägypter eine weittragende Bedeutung gehabt, insoweit sich dasselbe, wie bemerkt, zunächst auf die Berechnung hohler Räume bezog ohne Rücksicht auf die verschiedenen Einheitsgrößen der Maße des Raumes.

Als lehrreiches Beispiel dafür dient ein in demselben Museum von Gizeh aufbewahrter Metallbecher aus einer der späteren Epochen des ägyptischen Altertums, dessen Inhalt nach den Untersuchungen meines Bruders Emil Bey 0,23 Liter in sich faßt. Von oben nach unten fortlaufend und nach dem Boden zu immer kleiner werdend befinden sich auf der Innen- und Außenseite desselben Ringe eingegraben, zwischen welchen erklärende hieroglyphische Textworte und Bruchziffern deutlich lesbar angebracht sind. Sie lauten, in der angegebenen Reihenfolge, ½, ¼, 1⁄8, 1⁄16, 1⁄32, 1⁄64 Hin, entsprechen also genau den oben angeführten Teilstücken. Mit dem Worte Hin, das sich außerdem in der ebräischen Sprache in derselben Gestalt erhalten hat, bezeichnete man ein Grundhohlmaß, das nach den sehr genauen Untersuchungen darüber eine Fassung von 0,454 Liter besaß. Die Hälfte desselben betrug mithin 0,227. Damit stimmt der oben besprochene geaichte Metallbecher des Museums von Gizeh wohl überein, dessen Inhalt auf Grund der eingegrabenen Inschriften die Hälfte eines Hin in sich faßte. In allen Zeiten der ägyptischen Geschichte erscheint der Name Hin in Tausenden von Texten wieder, um die kleinsten Grundeinheiten aller räumlichen Maße zu bezeichnen, gerade wie wir in unseren Tagen das Litermaß als eine solche auffassen. In den verschiedenen Sammlungen ägyptischer Altertümer werden meist aus Alabaster angefertigte Gefäße aufbewahrt, deren Aufschrift nicht selten den räumlichen Inhalt derselben mit Hilfe des Hinmaßes anzeigt. Man begegnet Angaben darauf, wie z. B. 9, 11, 21, 40 Hin, in einzelnen Fällen sogar mit hinzugefügten Bruchteilen dahinter, welche die Beweise liefern, daß man den Inhalt der bezüglichen Gefäße auf ihre Fassung genau zu prüfen verstand.

Das Maß des Hin, das für sich allein nach dem allgemein eingeführten Rechnungssystem in 320 kleinste Teilstücke mit den Unterabteilungen 160, 80, 40, 20, 10, 5, 4, 3, 2 und 1 zerfiel, wurde anderseits für sich allein als ein kleinstes Teilstück, d. h. als 1⁄320 betrachtet, dessen Einheit somit das 320fache von 0,454 Liter in sich fassen mußte. Die vollzogene Rechnung führt auf ein größtes räumliches Maß, dessen Inhalt sich auf 145,35 Liter berechnet. Das ist aber genau die Fassung der altägyptischen Kubikelle (von 0,527 Meter Längenausdehnung), deren Teilstücke nach dem allgemeinen Schema, wie ich es kurz vorher wiederholt habe, die hauptsächlichsten Unterabteilungen der ägyptischen Maße darstellten, d. h. ½, ¼, 1⁄8, 1⁄16, 1⁄32, 1⁄64 Kubikelle oder mit anderen Worten 160, 80, 40, 20, 10 und 5 Hin.

Ich habe kaum nötig, darauf hinzuweisen, welche merkwürdige Analogie das altägyptische System der Getreide- und Flüssigkeitsmaße mit unserem modernen darbietet, in welchem bekanntlich das Liter den Raum eines Kubikdecimeters oder den tausendsten Teil eines Kubikmeters bezeichnet. Der Unterschied liegt allein in der Teilzahl 320, welche wir durch die Decimalberechnung ersetzt haben.

Die Zahl 320, welche bereits auf den beiden ältesten Rechentafeln aus der Mitte des dritten Jahrtausends v. Chr. zum Vorschein kommt und deren Ursprung sicherlich in ein noch höheres Zeitalter zu versetzen sein dürfte, hatte ihre nachgewiesene Bedeutung nicht nur für das kubische Maß, sondern auch für die Berechnung der Flächenmaße, besonders der Feldmaße, in den Zeiten des ägyptischen Altertums. Erhaltene Inschriften liefern die Beweise, daß die größte Grundeinheit des Feldmaßes in ½, ¼, 1⁄8, 1⁄16, 1⁄32 geteilt, mit andern Worten, dabei dasselbe Prinzip verfolgt wurde, welches dem uralten System mit Hilfe der leicht teilbaren Zahl 320 zu Grunde lag.

Einen merkwürdigen Gegensatz zu dieser Zahl und ihren Teilstücken bildete die von dem alten Kulturvolke der Babylonier angewandte sexagesimale Rechnungsmethode, in welcher sich die Hauptstufen in der Ordnung 360, 60, 1, 1⁄60, 1⁄360 darstellten. Die geschichtliche Bedeutung dieses Systems, dessen Spuren sich bis in unsere Zeiten hin verfolgen lassen, ist weltbekannt. Es beherrschte die gesamte Kulturwelt des Altertums und verbreitete sich von Volk zu Volk auf den ältesten Handelsstraßen zu Wasser und zu Lande. Ob es auch Ägypten beeinflußt hatte oder ob im Verlaufe der späteren Geschichte von Ägypten aus der Anstoß dazu gegeben worden ist, muß vorläufig als eine unentschiedene und schwebende Frage bezeichnet werden. Auf alle Fälle haben die ältesten Rechentafeln der Welt im Museum von Gizeh, welche ich zum Gegenstande dieser Betrachtung gewählt habe, uns die Gelegenheit geboten, Lichtblicke in eine ferne Vergangenheit zu werfen, in welcher der menschliche Scharfsinn die Schwierigkeiten glücklich zu überwinden verstand, mit ganzen und gebrochenen Zahlen die Grundoperationen des Rechenwesens ohne auffällige Fehler im einzelnen mit Erfolg durchzuführen.