243. Bestimmung des Schwerpunktes.
Schwerpunkt ist der Angriffspunkt der Resultierenden all der kleinen Schwerkräfte, die auf die einzelnen Teilchen des Körpers wirken.
Fig. 317.
Schwerpunkt einer geraden Linie.
Eine physikalische Linie ist ein der Länge nach ausgedehnter Körper, der so dünn ist, daß man von seiner Breite und Dicke absehen kann (Molekülreihe). Ist eine starre gerade Linie überall gleich schwer, so liegt der Schwerpunkt in der Mitte; denn von diesem Punkte aus nach rechts und links liegen in je gleichen Entfernungen gleich schwere Massenteilchen. Ein steifen, dünner, gerader Draht bietet annähernd ein Beispiel dafür.
Schwerpunkt des Rechtecks.
Fig. 318.
Eine physikalische Fläche ist ein der Länge und Breite nach ausgedehnter Körper, der so dünn ist, daß man von seiner Dicke absehen kann (Molekülschichte).
Denkt man sich das Rechteck parallel einer Seite in ungemein viele, sehr schmale und gleich schmale Streifen zerschnitten, so daß jeder Streifen etwa bloß eine Molekülreihe enthält, so liegt der Schwerpunkt jedes solchen Streifens in seiner Mitte; diese Schwerpunkte erfüllen als geometrischen Ort eine Linie, welche, wie aus geometrischen Gründen leicht ersichtlich ist, die gerade Verbindungslinie der Mitten der zwei Gegenseiten ist; auch liegen die Schwerpunkte auf dieser Linie gleich weit von einander entfernt, weil die Streifen gleich breit sind. Denkt man sich nun das Gewicht jedes Streifens in seinem Schwerpunkte angebracht, so sind diese Gewichte gleich groß, weil die Streifen gleich lang und breit sind und aus gleicher Masse bestehen. Wir haben also auf der Schwerlinie in Punkten von gleichen Entfernungen gleich große Kräfte; die Resultierende geht durch die Mitte der Schwerlinie, und dort liegt der Schwerpunkt des Rechtecks. Aus geometrischen Gründen ist ersichtlich, daß dieser Schwerpunkt im Schnittpunkte der Diagonalen liegt und so am leichtesten gefunden werden kann. Ähnliche Ableitung und gleiches Resultat gilt über den Schwerpunkt des Parallelogramms, Rhombus und Quadrates.
Schwerpunkt des Dreiecks.
Fig. 319.
Man zerlegt das Dreieck, ähnlich wie das Rechteck, in Streifen, die einer Seite parallel sind; ihre Schwerpunkte liegen in ihren Mitten und erfüllen, wie aus geometrischen Gründen ersichtlich ist, eine gerade Linie, welche die Mitte der Dreiecksseite mit der Spitze verbindet, also die Seitenhalbierungslinie. Denkt man sich nun wieder das Gewicht jedes einzelnen Streifens in seinem Schwerpunkte vereinigt, so hat man auf der Schwerlinie auch wieder Punkte von gleicher Entfernung; aber in ihnen wirken nicht gleiche Kräfte, weil die Streifen nicht gleich lang sind, sondern gegen die Spitze zu immer kürzer werden. Der Angriffspunkt der Resultierenden liegt also wohl auf, aber nicht in der Mitte dieser Linie.
Zerlegt man aber das Dreieck parallel einer anderen Seite in Streifen, so findet man die zweite Seitenhalbierungslinie als eine Schwerlinie. Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt beider Schwerlinien. Der Schwerpunkt des Dreiecks liegt also im Schnittpunkte der Seitenhalbierungslinien, von welchem geometrisch bekannt ist, daß er im ersten Drittel jeder Seitenhalbierungslinie liegt.
Schwerpunkt von Vielecken.
Fig. 320.
Man teilt das Viereck ABCD durch die Diagonale AC in zwei Dreiecke, bestimmt deren Schwerpunkte s und s′, denkt sich das Gewicht jedes Dreiecks in seinem Schwerpunkte vereinigt und schließt, daß der Angriffspunkt der Resultierenden beider Gewichte, also der Schwerpunkt, auf der Geraden ss′ selbst liegen muß; ss′ ist also Schwerlinie des Vierecks. Man teilt das Viereck durch die Diagonale BD in zwei andere Dreiecke, bestimmt deren Schwerpunkte s1 und s1′ und schließt, daß auch die Gerade s1s1′ eine Schwerlinie des Vierecks ist; daraus folgt dann, daß der Schwerpunkt S im Schnittpunkte von ss′ und s1s1′ liegt. (Welche besondere Lage haben die Geraden ss′ und s1s1′?)
Der Schwerpunkt des Fünfecks wird ähnlich gefunden, indem man es durch eine Diagonale in ein Dreieck und ein Viereck zerlegt und von jedem den Schwerpunkt sucht; die Verbindungslinie der Schwerpunkte ist dann eine Schwerlinie. Zerlegt man das Fünfeck durch eine andere Diagonale und verfährt ebenso, so erhält man noch eine Schwerlinie; der Schnittpunkt beider ist der Schwerpunkt. Ähnlich kann man bei einem Sechseck, Siebeneck u. s. w. verfahren, doch wird das Verfahren bald unleidlich langwierig.