265. Bewegung eines vertikal geworfenen Körpers.
Bewegung eines vertikal abwärts geworfenen Körpers. Der Körper hat eine Anfangsgeschwindigkeit = a und bekommt durch die Schwerkraft einen Geschwindigkeitszuwachs g in 1", g t in t". Durch die Wirkung der Schwerkraft bekommt der Körper in gleichen Zeiten stets dieselbe Geschwindigkeitsänderung gleichgültig, welche Bewegung er anfangs hatte. Diese Geschwindigkeit g t tritt zur schon vorhandenen a hinzu, also
v = a + g t.
Weg in der ersten Sekunde: Am Anfang der ersten Sekunde hat er eine Geschwindigkeit a, am Ende eine Geschwindigkeit a + g; der Weg in der ersten Sekunde ist demnach wie früher gleich dem Mittel aus beiden Geschwindigkeiten, = a + 1⁄2 g; ebenso findet man den Weg in der zweiten Sekunde = a + 1⁄2 g + g, in der dritten Sekunde = a + 1⁄2 g + 2 g etc. Die Wege in den einzelnen Sekunden bilden wieder eine arithmetische Reihe, deren Anfangsglied = a + 1⁄2 g, deren Differenz = g, deren Summe also
s = t (a + g 2) + t · (t - 1) · g2
= a t + t g2 + t2 g2 - t g2
s = a t + g t22.
Der Weg ist gleich der Summe der Wege, die durch die einzelnen Ursachen hervorgebracht würden.
Bewegung eines senkrecht nach aufwärts geworfenen Körpers. Hiebei verringert die Schwerkraft die vorhandene Geschwindigkeit in jeder Sekunde um g, also in t" um g t, also ist
v = a - g t.
Der Weg in der ersten Sekunde ist, ähnlich wie früher, = a - 1⁄2 g, in der zweiten = a - 1⁄2 g - g, in der dritten = a - 1⁄2 g - 2 g u. s. w.; diese Wege bilden wieder eine arithmetische Reihe, deren Differenz = - g, also ist der in t" durchlaufende Weg, oder die Summe:
s = t (a - g 2) - t · (t - 1) g2, oder vereinfacht:
s = a t - g t22.
Der Weg ist gleich der Differenz der Wege, die durch die einzelnen Ursachen hervorgebracht würden.
Der vertikal geworfene Körper steigt so lange, bis seine Endgeschwindigkeit = 0 ist, also 0 = a - g t; hieraus
t = a g.
Der zurückgelegte Weg, die Steighöhe, berechnet sich aus s = a t - g t22 wenn man t = a g setzt. Es ist
s = a2 g - g a2 2 g2;
s = a2 2 g.
Die Steighöhe ist dem Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit proportional; wird der Körper mit doppelt so großer Anfangsgeschwindigkeit geworfen, so steigt er 4 mal so hoch.
Ist der Körper an diesem höchsten Punkte angelangt, so hat er einen Moment lang die Geschw. = 0; dann fällt er nach den gewöhnlichen Fallgesetzen. Die Zeit, die er braucht, um die erreichte Höhe wieder herabzufallen, berechnet sich aus
s = g t2 2, wobei
s = a2 2 g; das gibt
a2 2 g = g t22,
hieraus ist t = a g, d. h. der Körper braucht zum Herabfallen dieselbe Zeit wie zum Hinaufsteigen. Die Endgeschw., mit der er am Boden ankommt, berechnet sich aus v = g t, wo t = a g, also v = g · a g, v = a; er kommt mit derselben Geschwindigkeit an, mit der er geworfen wurde.
Die Zeit, welche ein Körper braucht, um einen Punkt B in der Höhe h zu erreichen, berechnet sich aus h = a t - 1⁄2 g t2, und ist
t = 1 g (a ± √-2 g h + a2).
Der eine Wert, entsprechend - √, gibt an, in welcher Zeit der Körper den Punkt B erreicht; der andere Wert, entsprechend + √, gibt an, welche Zeit der Körper braucht, um bis zum höchsten Punkte zu gelangen und von dort aus wieder herunterzufallen, bis er den Punkt B von oben her trifft. Die Geschwindigkeit, die er in B hat, berechnet sich aus
v = a - g t für
t = 1 g (a ± √-2 g h + a2); also
v = a - a ∓ √-2 g h + a2
v = ∓ √-2 g h + a2.
Der positive Wert bedeutet die nach aufwärts gerichtete Geschwindigkeit, mit welcher er den Punkt B erreicht; der negative bedeutet die abwärts gerichtete Geschwindigkeit, mit der er beim Herunterfallen wieder im Punkte B anlangt; beide Geschwindigkeiten sind gleich groß und zwar für jeden Wert von h; der Körper durchläuft jeden Punkt seiner Bahn zweimal, einmal beim Hinauf-, einmal beim Heruntergehen, beidesmal mit derselben Geschwindigkeit. Die Werte von t und v werden imaginär, wenn 2 g h > a2, oder wenn h > a2 2 g, also wenn B höher liegt als der höchste Punkt, den der Körper erreichen kann.
Aufgaben:
187. Wie hoch fliegt eine Kanonenkugel, welche mit 440 m Anfangsgeschwindigkeit aufwärts geworfen wird, und mit welcher Geschwindigkeit müßte sie abgeschossen werden, um die Höhe des Montblanc (= 4810 m) oder die des Gaurisankar (= 8840 m) zu erreichen?
188. Ein Körper fällt frei herab. Am Schlusse der 3. Sekunde wird ihm ein anderer Körper nachgeworfen, welcher am Ende der 5. Sek. von ihm einen Abstand von 40 m hat. Wann treffen die Körper zusammen?
189. Ein Körper wird mit 156,8 m Anfangsgeschwindigkeit senkrecht auswärts geworfen. 18 Sek. später wird ihm ein zweiter mit 186,2 m Anfangsgeschwindigkeit nachgeworfen. Wann und wo treffen sie sich? Wenn sie nach dem Zusammentreffen wie beim zentralen Stoße mit vertauschten Geschwindigkeiten voneinander zurückprallen, wann kommt dann jeder wieder auf den Boden? (g = 9,8 m.)
190. Ein lotrecht in die Höhe geworfener Körper hat eine Höhe a = 80,35 m mit einer Geschwindigkeit b = 1,68 m erreicht. Mit welcher Geschwindigkeit ist er ausgegangen und welche Zeit hat er gebraucht, um bis zu jener Höhe zu gelangen (g = 9,81 m)?
191. Ein Körper wird senkrecht in die Hohe geworfen mit 75 m Anfangsgeschwindigkeit. Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit muß ihm 4" später ein zweiter folgen, wenn er den ersten in dessen höchstem Punkte (in seinem eigenen h. P.) erreichen soll?
192. Wie hoch wird ein Körper gestiegen sein, der nach 12" (15", 40") wieder zur Erde kommt? Wie groß war seine Anfangsgeschwindigkeit?