Wir betrachten dazu eine dreiseitige Ecke mit dem Scheitel S0, und fassen ihre Schnitte mit den Ebenen ε und ε' ins Auge (Fig. [13[!--tex4ht:ref: fig:13 --]).[17]
Fig 13:
Diese Schnitte sind zwei Dreiecke; ihre Seiten, die a, b, c und a', b', c' heißen sollen, bilden je ein Paar entsprechender Geraden von ε und ε'. Nach Satz [II[!--tex4ht:ref: thm:4.II --] schneiden sich also je zwei entsprechende von ihnen in einem Punkte von s. Die drei Punkte
A'' = (a,a'), B'' = (b,b'), C'' = (c,c')
liegen daher auf der Geraden s. Dies ist unser Satz. Also folgt:
III. Satz des Desargues[18] : Werden aus einer dreiseitigen Ecke durch zwei Ebenen ε und ε' zwei Dreiecke ausgeschnitten, so treffen sich die entsprechenden Seiten dieser Dreiecke in Punkten, die auf einer Geraden liegen, und zwar auf der Schnittlinie von ε und ε'.
Der Satz und sein Beweis bleiben gültig, wenn der Punkt S0 ins Unendliche rückt, also die Ecke in ein dreiseitiges Prisma übergeht. Dies folgt unmittelbar daraus, daß die Lage von S0 für den Beweis in keiner Weise benutzt wird.
Für besondere durch den Punkt S0 gehende Ebenen bestehen wieder Gesetze einfacher Art.[19] Ich führe zunächst die folgenden an: