8. Kreuzungspunkt einer Geraden mit einer Ebene. Die Bestimmung des Kreuzungspunktes K einer gegebenen Geraden g mit einer gegebenen Ebene ε ist die wichtigste Aufgabe, die hier zu erörtern ist. Wir lösen sie, indem wir sie auf die Aufgabe [4[!--tex4ht:ref: subsub:11..4 --]. zurückführen, also eine zweite durch den Punkt K gehende Gerade zu Hilfe nehmen. Wir wählen dazu am besten die Schnittlinie f von ε mit der projizierenden Ebene γ1; die auf π1 längs g1 senkrecht steht. Für sie ist gemäß [4[!--tex4ht:ref: subsub:11..4 --]. f1 = g1; es handelt sich also nur noch darum, die zweiten Projektionen dieser Geraden f zu konstruieren.
Wir betrachten zunächst den Fall, daß ε als begrenztes Flächenstück Φ gegeben ist. Da f1 = g1 ist, hat man in den Schnittpunkten von g1 mit Φ1 zugleich die ersten Projektionen der Schnittpunkte von f mit Φ, und da ihre zweiten Projektionen auf Φ2 liegen, so ist damit auch f2 zeichnerisch bestimmt.
Ist z. B. Φ ein Parallelogramm ABCD, so hat man (Fig. [53[!--tex4ht:ref: fig:53 --]) die Schnittpunkte P1 und Q1 von g1 mit A1B1C1D1 zu zeichnen, sodann auf A2B2C2D2 die zweiten Projektionen P2 und Q2, und dann den Schnittpunkt K2 von g2 mit P2Q2 = f2. Aus ihm erhält man endlich gemäß [3[!--tex4ht:ref: subsub:11..3 --]. auch den Punkt K1 auf g1.
| Fig 53 | Fig 54 |
Ist dagegen die Ebene ε durch ihre Spuren gegeben, so konstruiere man (Fig. [54[!--tex4ht:ref: fig:54 --]) zunächst die Spuren von γ1; ihre erste Spur C1 ist gemäß [4[!--tex4ht:ref: subsub:11..4 --]. ebenfalls mit g1 identisch, ihre zweite C2 ist zur Achse a senkrecht. Die Projektion f2 ergibt sich nunmehr gemäß [5[!--tex4ht:ref: subsub:11..5 --]., indem man f als Schnitt von ε und γ1 ansieht; es ist also F1 = (C1,E1) und F2 = (C2,E2).
| Fig 55 |
Übrigens wird man es meist nur mit dem ersten Fall zu tun haben. Um z. B. ein Parallelepipedon zu zeichnen, das von einer Geraden gekreuzt wird, können wir folgendermaßen verfahren. Die beiden Flächen, in denen die Kreuzung erfolgen soll, wählen wir beliebig aus, es seien (Fig. [55[!--tex4ht:ref: fig:55 --]) ABCE und ABDF. Wir zeichnen dann am einfachsten in A1B1D1F1 irgendeine Gerade, z. B. die Diagonale B1D1, nehmen auf ihr K1 beliebig an und zeichnen K2 auf B2D2. Ebenso verfährt man mit den Projektionen A1B1C1E1 und A2B2C2E2. Damit hat man auch g1 und g2 als Verbindungslinien der Kreuzungspunkte.