§ 12. Metrische Verhältnisse im Grundriß und Aufriß.
Die Aufgaben, die hier zu erörtern sind, betreffen hauptsächlich die zeichnerische Darstellung von Strecken und Winkeln gegebener Größe.
In den einfachsten Fällen kommen wir ohne Kenntnis besonderer Methoden zum Ziel, wie das folgende Beispiel zeigt:
Grundriß und Aufriß eines Würfels von gegebener Kantenlänge herzustellen, wenn eine Hauptdiagonale auf der Grundebene π1 senkrecht steht.
| Fig 56 |
Die eine Ecke A des Würfels denken wir uns der Einfachheit halber in der Grundebene liegend; die zur Grundebene senkrechte Hauptdiagonale sei AH. Sind dann AB, AC, AD, HE, HF, HG die von A und H ausgehenden Würfelkanten, so bilden die Punkte B, C, D und E, F, G je ein gleichseitiges Dreieck; die Ebenen dieser Dreiecke liegen zur Grundebene parallel und teilen die Hauptdiagonale in drei gleiche Teile. Daraus folgt, daß die Kante s des Würfels, die Flächendiagonale d und die Hauptdiagonale h in der Weise ein rechtwinkliges Dreieck ABH bilden (Fig. [56[!--tex4ht:ref: fig:56 --]), daß der Höhenfußpunkt U die Hypotenuse im Verhältnis 1: 2 teilt. Damit ist h zeichnerisch bestimmt.
| Fig 57 |
Wir zeichnen nun zunächst den Grundriß (Fig. [57[!--tex4ht:ref: fig:57 --]). Aus der Symmetrie des Würfels folgt, daß alle Kanten gegen die die Diagonale AH und damit auch gegen die Grundrißebene gleich geneigt sind.[56] Der Grundriß besteht daher aus den Seiten und Diagonalen eines regelmäßigen Sechsecks, dessen Ecken die Projektionen der Punkte B, C, D, E, F, G sind, während die Projektionen A1 und H1 in seinen Mittelpunkt fallen. Überdies stellt in Fig. [56[!--tex4ht:ref: fig:56 --] offenbar BU die Länge der Grundrißprojektion von AB und zugleich den Radius des dem Sechseck umgeschriebenen Kreises dar. Damit ist, so lange die Stellung des Würfels zur Aufrißebene beliebig bleibt, was hier geschehen soll, der Grundriß bestimmt.