Das Dreieck ABJ hat nun mit dem Rechteck LKBJ einerlei Grundlinie BJ und gleiche Höhe KB; ebenso haben das Dreieck CBG und das Quadrat ABGF einerlei Grundlinie BG und gleiche Höhe AB, daher: △ ABJ=1/2 Rechteck KBJL und CBG=1/2 Quadrat ABGF. Da nun die beiden Dreiecke ABJ und CBG gleich gross sind, so ist auch 1/2 Rechteck KBJL=1/2 Quadrat ABGF, also auch das ganze Rechteck so gross wie das ganze Quadrat.
Ebenso zeigt man an der andern Seite, indem man14 die Hülfslinien AH und BD zieht, dass auch das Rechteck CHLK dem Quadrat ACDE an Fläche gleich ist, und folglich auch beide Rechtecke zusammen, d. i.15 das Quadrat der Hypotenuse, so gross ist, wie die Summe der Quadrate der beiden Katheten.
Zusatz. Das Quadrat der einen Kathete ist so gross wie das Quadrat der Hypotenuse weniger dem Quadrat der andern Kathete.
7.
Parallellinien. Zwei gerade Linien, welche in einerlei Ebene liegen und nach keiner Seite hin1 zusammentreffen, wie weit2 man sie auch verlängert denken mag, heissen parallel (gleichlaufend3 ).
Wenn man auf dem einen Schenkel eines Winkels gleiche Stücke abschneidet und durch die Teilpunkte Parallele an den andern Schenkel zieht, so schneiden diese auch auf dem andern Schenkel gleiche Stücke ab.
Parallelen zwischen den Schenkeln eines Winkels schneiden auf denselben proportionale Stücke ab.
Zwei Figuren heissen ähnlich, wenn sie gleichwinklig sind und die4 in gleicher Ordnung zwischen gleichen Winkeln liegenden Seiten dasselbe Verhältnis zu einander haben.
In ähnlichen Dreiecken sind die5 den gleichen Winkeln gegenüber liegenden Seiten proportional.
Die Umfänge ähnlicher Figuren verhalten sich6 wie zwei ähnlich liegende Seiten, ihre Inhalte aber wie die Quadrate ähnlich liegender Seiten.